PP

tend vers une limite finie.

Il résulte de là que l'ordre infinitésimal de M'ftf , relativement à MQ est le même que l'ordre infinitésimal de M'/7i relativement à PP', et, si nous représentons par fx Tordre du contact des deux courbes, Wni sera un infiniment petit d'ordre /:x 4- i relativement à PP' pris actuellement pour infiniment petit principal. Désignons par X l'abscisse du point M, par x -H Ax celle des points M', m et par Y, Y' les ordonnées de ces mêmes

3l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

points, nous aurons

M'm = Y — r, PP'=Aar,

en sorte que /x -f- 1 sera Tordre infinitésimal de la différence Y — Y' relativement à ùkx.

Soient j' etj^Mes valeurs auxquelles se réduisent Y et Y' quand Aor s'annule; on aura, par la formule de Taylor, et en supposant remplies les conditions exigées par cette formule,

dy Lr d*r Ax* d^-^W A.r»^*

--. «r ix.r a r suc- a^ - j a.*.- ^

^ =X -^ -7- —4- -.-^ —^-...-4- -—ir . . ,...., -^-RsM-i,

V— ' . ^^^' ^^ '^^^' ^^' r^«*-^V Axi*+» r

cLr I djc^ 1.2 rtxî*"^* I .2...(,ix -4- ij

Rji+„ R'p,^, désignant les restes des deux séries arrêtées aux termes de rang fjt 4- 2. D'après cela, pour que nos deux courbes aient effectivement en M un contact de Tordre /!x, c'est-à-dire pour que la différence Y — Y 'soit un infiniment petit d'ordre |i -f- i , il faut et il suffit que Ton ait . . , ^^ ^V r/»r d^x' ___ d^y

cela exprime que, pour Tabscisse x du point de contact, les valeurs de l'ordonnée et de ses (x premières dérivées tirées de l'équation de Tune des courbes doivent être égales aux valeurs correspondantes tirées de l'équation de l'autre courbe. Si ces conditions sont remplies et que , les dérivées d'ordre fx -j- i ,

dx^-^^~ ' dl^^ ne soient pas égales entre elles, on aura