CHAPITRE VII. 3i

la différence Y — Y' sera d*un ordre infinitésimal égal à /!x 4- I , et le nombre /x exprimera, en conséquence, Tordre du contact des deux courbes.

21 2. Si Tordre /ix du contact est un nombre impair, Y — Y' ne change pas de signe, d'après la formule (2), quand Aj: change de signe, puisque R^^., — R'j^^, est un infiniment petit d'ordre /x H- 2 ; ce signe est celui de la différence

Hj^ ~dy^ *

Il s'ensuit que Tune des courbes est tout entière située d'un même côté, par rapport à l'autre, dans le voisinage du point de contact.

Au contraire, quand Tordre \l du contact est un nombre pair, la différence Y — Y' change de signe avec ^Xy et les courbes se traversent mutuellement au point de contact.

Remarquons enfin que, si les deux courbes ont au point M un contact d'ordre |ui, il est impossible de faire passer par le point M une troisième courbe qui soit comprise entre les deux premières, à moins qu'elle n'ait avec celles-ci, au point M, un contact de Tordre \i. au moins. En effet, soit Y'^ l'ordonnée relative à l'abscisse x-^ ^x d'une troisième courbe passant par le point M. On aura

si donc Y" — Y est d'un ordre infinitésimal inférieur à |x-4- I, Y" — Y' sera aussi de cet ordre, et par conséquent

Y''— r et Y"— Y

seront de même signe, d'après la formule précédente.

3l6 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

Des courbes osculatrices.

213. Soit C une courbe donnée, dont nous représenterons les coordonnées par x, y. Soit aussi C une courbe d'une espèce donnée et dans Téquation de laquelle figurent ;/ -f- i constantes arbitraires; nous représenterons par y l'ordonnée de la courbe G' qui répond à Tabscisse x.

Si l'on désigne par \l un entier qui ne soit pas supérieur à 72, on pourra disposer des arbitraires de manière que la courbe C passe par un point M de la courbe C répondant à une abscisse donnée Xj et qu'elle ait en ce point, avec la courbe C, un contact de Tordre |x. Pour obtenir les conditions de ce contact, il suffira, d'après ce qu'on a vu plus haut, d'égaler les valeurs de y et de ses a premières dérivées tirées de l'équation de la courbe G, aux valeurs dej'' et de ses /:z premières dérivées tirées de l'équation de la courbe G'. Les équations de condition ainsi formées seront au nombre de /:ji -f- i ; si l'on a w]>|ix, il restera n — |:x constantes indéterminées; mais, si l'on a « = //, la courbe G' sera complètement déterminée et elle aura au point M, avec la courbe G, un contact qui sera au moins de l'ordre n. Dans ce dernier cas on dit que la courbe G' est osculatrice de la courbe G, au point M; elle est, parmi toutes les courbes de la famille à laquelle elle appartient, celle qui a le contact de l'ordre le plus élevé avec la courbe G.

214. Supposons qu'on ait disposé des arbitraires qui figurent dans l'équation de G', de manière que celle courbe G' passe par le point M (a:, y) de la courbe G, et qu'elle ait avec celle-ci, au point M, un contact d'un ordre [i inférieur à w ; le nombre ^i. peut ici se réduire