CHAPITRE VII

à zéro, et dans ce cas les deux courbes n'ont aucun contact, elles sont sécantes. Les conditions de notre hypothèse sont, en faisant toujours abstraction des cas de discontinuité.

dy' dr dv-y __ d^r

H^^dx^ "*' dx^ ~~ Zc»''

et elles se réduisent à la première d'entre elles, dans le cas de |:Jt = o. Cela posé, comme il reste des arbitraires indéterminées au nombre de n — a, nous pouvons profiter de cette indétermination pour faire passer la courbe C par le point de la courbe C qui répond à une abscisse donnée x -f- Ax. Désignons par Y et Y' lès ordonnées des deux courbes qui correspondent à cette abscisse; on aura, comme au n^ 211,

^ "~ ^ - \d^-^^' "" lÛ^j i.2...(fx-M) ^ ^"'^*~ ^^^^^^'

R'iH-i ^^ R|ii+i étant des infiniment petits de Tordre yL'\- 1. La condition que nous voulons exprimer, savoir Y'= Y, est donc

et, si Ton fait tendre Ax vers zéro, elle se réduira, à la limite, à

d^\Y' d^-^^x ^^^ ~dJi^ ~ dx^^'

En joignant cette équation (2) aux équations (1), on obtient précisément les conditions pour que le contact des courbes C et C soit de Tordre f^ -f- 1 .

Il résulte de là que, pour avoir celle des courbes C qui est osculatrice de la courbe C au point M, il suffira de disposer des n + 1 arbitraires contenues dans Téqua-

3l8 CALCUL difféhentiel.

tion de C, de manière que cette courbe passe par le point M et par n autres points M^ Mj, . . ., M;, de la courbe C répondant aux abscisses Xo ^29 • • • v ^n? puis de faire tendre successivement vers la limite x chacune des autres abscisses Xi, x^y . . ,, Xn» Lorsque x^ aura atteint la limite x, la courbe G' aura en M avec G un contact du premier ordre ; lorsque ensuite on fera tendre j?2 vers la même limite x, Tordre du contact s'élèvera d'une unité, et ainsi de suite.

215. On suppose dans ce qui précède que les points M « , M27 ' ' ' y M,| viennent se confondre les uns après les autres avec le point M. Mais la courbe G', assujettie à passer par tous ces points, coïncidera encore à la limite avec la courbe osculatrice de la courbe proposée, au point M, lorsque les points Mj, M2, . . . , M;, se rapprocheront indéfiniment du point M en se déplaçant simultanément suivant une loi continue quelconque.

Soient, en effet, y z=if(x)ely^=f^ (x) les équations des deuxcourbes Cet G'; <f{x) la différence /i [x) — f{x). Représentons par a*, x -h A| , x -\-h2, . . . , j: -h Au les abscisses des points M, Mj, M2, • • ., M^ pris arbitrairement sur la courbe G', les valeurs absolues des quantités /zi, h^y ..., hn étant inférieures à un nombre donné h. Les équations qui expriment que la courbe G' passe par les points M, M|, . . . , M/, sont

On peut remplacer ce système par le suivant :

y{.r)=0, y(x-f-Ai)— y(x)=0, ..., y(x-f-/<n}— ?M=0 OU