CHAPITRE I. II

finie, tandis que le facteur e est infiniment petit; donc la somme

est elle-même infiniment petite.

CoROLLÂi&E. — La limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités positives infiniment /;etites fi est pas changée quand on remplace ces quantités par d' mitres dont les rapports at^ee elles ont respectii^ement pour limite l'unité.

Soient les infiniment petits proposés,

d*autres infiniment petits dont les rapports aux premiers respectivement aient pour limite l'unité. On aura

€| = «1 -4- ai fj, 6j = «s -:- «r fj, . . . , 6;„ -=i a^ -!- «„, f^,»;

or, d'après notre principe, si Ton a

lim («1 -î- aj -i- . . . -f- «,„ ) r-^ S, on a aussi

liai(a|C| 4- a, €,-+-.. .-|-a,„f,;,)i=::o;

donc

Km(6i 4- 6, -h. . . + e^) = S.

iO. On ne tardera pas à rencontrer les applications du premier principe de la méthode infinitésimale. Le deuxième principe se rapporte spécialement au calcul intégral ; il ne sera pas inutile d'en indiquer l'application que les anciens en ont faite à la quadrature des courbes.

la CALCUL DIFFÉRENTIEL.

QuADKÀTURE DES COURBES PLANES. — CoDsidérons Une courbe rapportée à deux axes de coordonnées rectilignes et cherchons l'aire comprise entre cette courbe. Taxe des

abscisses et deux ordonnées MP, NQ. Supposons d'abord que l'ordonnée de la courbe croisse constamment ou décroisse constamment depuis le point M jusqu'au point N. Décomposons la partie PQ de Taxe des x en un nombre inGnimentgrand de parties égales ou inégales, mais toutes infiniment petites ; puis menons par les points de division des parallèles à Taxe des y. L'aire MPQN, qu'il faut évaluer, sera décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites, telles que mpqn^ Or, si l'on mène ma et nb parallèles à l'axe des x, on formera deux parallélogrammes mpqay bpqn, qui seront ' l'un supérieur et l'autre inférieur à l'aire mpqn, et dont

le rapport — a évidemment pour limite l'unité. On

conclut de là que le rapport de mpqn à l'un des deux parallélogrammes, à mpqa par exemple, a pour limite l'unité. Donc, d'après notre deuxième principe, l'aire qu'il faut évaluer sera la limite de la somme des parallélogrammes intérieurs mpqa où celle de la somme dès parallélogrammes extérieurs bpqn. Ainsi, en posant mp =:y, pq z=z h, et en désignant par 0 l'angle des axes, l'aire demandée S sera exprimée par la formule

S = sinO.lim \ fh.

CrïÀPITIIE I.

Si l'ordonnée de la courbe est tantôt croissante, tantôt décroissante, on peut la décomposer en plusieurs parties satisfaisant chacune à la condition que nous venons d4mposer ; la formule précédente étant applicable à chaque partie, elle a lieu aussi pour leur somme. Cette formule subsiste, même quand Tordonnée^ change de signe, dans le passage du point M au point N, pourvu qu'on regarde comme négatives les aires des surfaces situées du côté desj^ négatives; il suffit, pour s'en convaincre, de pratiquer ici la décomposition de l'aire considérée en plusieurs parties, comme dans le cas que nous venons d'examiner.

li. Exemple. — Considérons le cas de la parabole.

Cette courbe, rapportée à son axe et à la tangente au sommet, a pour équation

p étant le paramètre. Supposons qu'on demande l'aire NOQ = S comprise entre la courbe, la tangente Ox et l'ordonnée NQ=j^. Décomposons l'abscisse OQ =:j:en

m parties égales ; soit pq = -^ Tune de ces parties ; si

Ton suppose Op = - x, on aura mp = —5/, et l'aire demandée S sera

nsm— 1

As=m — 1

S = \im'^mpqa = lm ^ ^=a:jr\im ^ ^

tt=i

l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or on a

fi=m—

=«-« mU-ij(m-i) 1"'= 3—5

donc

S" ô J^/.lim ( I ) (i )

Si l^on mène la perpendiculaire NR à O^, on formera un rectangle OQNR qui sera partagé par la parabole en deux parties dans le rapport de i à a«