INDÉPENDANTE
De la continuité,
i2. Une fonction y*(j:) de la variable x est dite contànue pour les valeurs de x comprises entre deux limites Xo et X, lorsque, pour toutes ces valeurs de x, la valeur absolue de la différence
décroît indéfiniment avec A, ou est infiniment petite en même temps que h.
Si la fonction y(a:) devient infinie pour une valeur de X comprise entre x^ et X, elle ne satisfait pas à la précédente définition de la continuité ; on dit alors qu'elle devient discontinue en passant par Tinfini.
Des dérivées.
13. La fonction y*(j:) étant supposée continue pour les valeurs de x comprises entre Xq et X, les accroissements correspondants
h et f[x -v-h) —f['T.)
sont en même temps infiniment petits, comme nous venons de le dire. La limite du rapport
l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de ces accroissements est en général une quantité déterminée indépendante du signe de /i; eUe dépend de la valeur attribuée à x et, en conséquence , elle est une fonction de cette variable. On lui a donné le nom de dériuée de la fonctiony(x), et nous la représenterons, avec LagrangC; par la notationy^'( j^) ; ainsi Ton aura
ou
(2) /[.x 4- /i) -/(or) = h/\:r) + A.,
c désignant une quantité infiniment petite en même temps que h.
Il peut arriver que, pour certaines valeurs particulières de Xf la limite du rapport
dépende du signe que l'on attribue à A en faisant tendre cette quantité vers zéro; dans ce cas, la dérivée de la fonction cesse d'être déterminée.
D'après ce qui précède, si l'on prend h pour infiniment petit principal, l'accroissement
sera un infiniment petit du premier ordre, à moins que la dérivée f\x) ne soit nulle ou infinie. On verra plus loin que cette circonstance ne peut se présenter que pour certaines valeurs particulières attribuées à x. Lorsque f\x) s'annule, l'accroissement de la fonction est d'un ordre infinitésimal supérieur à i; cet ordre est au contraire inférieur à i, quand /^(x) devient infinie.
i4. La simple notion de la dérivée conduit à plusieurs propositions importantes que nous allons établir.
