CHAPITRE TH. 3l

dans lequel A"i, A"2, ..., hn représentent des quantités dont les valeurs absolues sont inférieures à h. De même, ce système (a) peut être remplacé par

f) [x] = G, f' [x -h /',):= G, f{.r -l- A^] — y'(:r + /-j ' .— G, . . . , OU

les valeurs absolues de /s, /s, . . . , //i étant encore inférieures à h. En continuant ainsi, on remplace finalement le système (i) par le système

dans lequel k^, Uf > > >, Pn représentent des quantités qui dépendent de A{, A^, . . ., h,i et dont les valeurs absolues sont inférieures à h. Si Ton fait tendre A|, hi, , , . , hn vers zéro, h^, l^, . . > , p,i tendent en même temps vers zéro et le système (4) se réduit à

(5) ^(^) = G, f'{x]=zO, /(j:)=g, •.., y«(.r) = o;

c'est-à-dire

Ainsi /ej cowbes auront au point M un contact do l'ordre n.

Il est bon de remarquer que la démonstration précédente subsiste lorsque x désigne une quantité variable qui tend vers une limite Ç. Alors tous les points M, M|, M2, . . . , M;, se déplacent d'une façon arbitraire et tendent vers un même point limite 3ÏL.

216. Droitk osculàtrice. — Conique oscuLATRicE. — L'équation d'une droite ne renferme que deux constantes arbitraires; on ne peut donc établir entre une courbe donnée et une droite qu'un contact du premier ordre, en un point donné. Il s'ensuit que la droite osculatrice d'une courbe en chaque point n'est autre chose que la tangente de la courbe. On retrouve ce résultat parnotre théorie; car soit

Téquation d'une droite ; on en tire

dx ~ "•

et, comme les conditions du contact, au point dont l'abscisse est X, sont

tix dx

on aura les valeurs suivantes des constantes a et& :

rfy , dr

L'équation de la droite osculatrice est donc

ce qui est bien l'équation de la tangente.

L'équation générale des sections coniques renferme cinq constantes arbitraires; donc la conique osculatrice d'une courbe donnée a un contact du quatrième ordre avec cette courbe. Le contact peut être d'un ordre supérieur en certains points particuliers; ainsi une courbe du troisième degré a, en général, vingt-sept points en chacun desquels elle a un contact du cinquième ordre