CHAPITRE VII

avec la conique osculatrice. Ce théorème remarquable est dû à Steiner ; j^en ai donné une démonstration dans mon Cours d^ Algèbre supérieure, 4* édition, t. II. Si Ton ne considère que les sections coniques qui satisfont à certaines relations, le nombre des arbitraires sera inférieur à cinq, et la courbe osculatrice n'aura pas, en général, avec la proposée un contact du quatrième ordre : tel est le cas qui se présente quand on ne considère que des paraboles ; tel est aussi celui des circonférences que nous allons examiner.

Du cercle osculateur*

217. L'équation générale du cercle renferme trois constantes indéterminées, savoir les coordonnées Xj , j^< du centre et le rayon R. On peut donc établir ici un contact du deuxième ordre en un point (x, y) de la courbe donnée, et les conditions de Tosculation sont

j^ étant l'ordonnée du cercle. L'équation de ce cercle est et, en la différentiant successivement deux fois, il vient

dr'* , , ,d*r'

Si l'on remplace dans les trois équations précédentes^*', — i — ~- par les valeurs tirées des équations (i), on ob-

ajc iiJC

S. ^ Caie, diff. ai

322 CALCUL DIFFÉKENTIEL.

tiendra les trois suivantes :

qui détermineront les coordonnées x^ , jr^ et le rayon R du cercle osculateur au point (j?> J^) de la courbe donnée.

On voit que les équations (2) sont précisément celles qui déterminent le cercle de courbure, d'où il suit que ce cercle et le cercle osculateur ne sont qu'une seule et même chose.

Le cercle osculateur en un point d'une courbe traverse généralement cette courbe, puisqu'il a avec celle-ci un contact d'ordre pair; cependant le contact peut être du troisième ordre en des points particuliers, et alors le cercle osculateur reste tout entier d'un même côté de la courbe, dans le voisinage du point de contact.

Les considérations générales que nous avons présentées au n^ 214 conduisent aux conséquences suivantes :

i^ Le cercle osculateur en un point d'une cow^be est la limite vers laquelle tend le cercle tangent en ce point à la courbe, et passant par un second point de celle-ci, lorsque ce second point se rapproche indéfiniment du premier en restant constamment sur la cou?'be,

2° Le cercle osculateur en un point d'une courbe est la limite vers laquelle tend le cercle qui passe par ce point et par deux autres points de la courbe, lorsque ces deux derniers points se rapprochent indéfiniment du premier en restant constamment sur la courbe.

CHA.PITRE Vlil.