APPUCATIONS DE LA THÉORIE DES COURBES PLANES
Aire des sections coniques,
218. Bien que la quadrature des surfaces terminées par des lignes courbes soit du ressort du Calcul intégral, nous ne pouvons nous dispenser, de traiter dès à présent quelques-uns des cas les plus simples et eii particulier le cas des sections coniques.
Aire de la parabole. — Supposons qu'on demande
Taire du segment MOM' compris entre un arc de parabole et sa corde.
Prenons pour axe des x le diamètre Ox qui passe par le milieu P de la corde MM' et pour axe des j la tangente Oy à l'extrémité de ce diamètre.
Si l'on désigne par a: étales coordonnées du point M supposé actuellement variable, par S l'angle des axes, la différentielle de l'aire OMP = u sera (nM87)
du =^ JiTsind.
Mais réqualionj^= a^x de la pars^bole donne
on a donc
du = sfïpa^dx sin 0,
Comme x' dx est la différentielle de ^ a:' , Taire m a la
même différentielle que la fonction x sj^px^ sin0 ou
- y2/7X.a:sin5, etellen'en diffère que par une constante.
D'ailleurs les deux fondions s'évanouissent pour x = o\ par conséquent la constante est nulle, et Ton a
w = - v'2y7x.;r sinÔ ou u t=: -^ xy s\nO .
Cette formule exprime que Taire OMPestles - de Taire
du parallélogramme OPMQ construit sur les coordonnées du point M. L'aire OPM' est pour la même raison les
^ de Taire du parallélogramme OPM' Q'; donc enfin Taire
du segment MOM' est aussi les - du parallélogramme MM'Q'Q.
219. Aire de l'ellipse. — Considérons une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; désignons par 2a et 2^ les longueurs des axes, et supposons qu'on demande Taire u comprise entre les deux axes Ox, Oj^, Tare BM et l'ordonnée MP. Décrivons une circonférence ayant le grand axe ia pour diamètre, désignons par u' Taire comprise entre les axes Ox, O^, l'arc de cercle B'M' et l'ordonnée MP prolongée. On aura, en supposant l'abscisse X variable,
du ^=.y dx^ du' = y' r/jr.
chapithe viii. 3si3
Maïs, y ^\' y étant les coordonnées du cercle et de Tel-
Upse, on a — = -» donc
du=: - du'; a
Kj
les quantités u et - u' ayant mêmes différentielles et s*an-
nulant toutes les deux en même temps que x, elles sont nécessairement égales entre elles, et Ton a
La surface entière du cercle étant Tra*, on voit que Taire totale de Tellipse est égale kitab,
