AiBE DE l'hyperbole. — Considérons l'hyperbole

rapportée à ses deux asymptotes; l'équatiou de cette courbe sera

Soit u l'aire comprise entre la courbe, l'axe desx et les

SaS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ordonnées AC, PM, l'une fixe, l'autre variable; on aura

dx

or - est la différentielle du logarithme népérien de x\

on a donc

u :=. m*sin0 logjr -h const.

L'aire u devant s'annuler quand x est égale à l'abscisse x^ du point C, la constante a pour valeur

— /n'sinOlogJîo»

et l'on a

u r= /72* sin 0 log — •

Si l'hyperbole est équilatère, on a ô = go**; prenons alors pour l'ordonnée fixe CA celle du sommet C de l'hyperbole et faisons m égale à l'unité de longueur, on aura simplement

u ■=: logj*;

par conséquent, les aires déterminées par les div^erses ordonnées de l^hjperbole sont les logarithmes des abscisses correspondantes. C'est en raison de cette propriété que les logarithmes népériens sont quelquefois désignés sous le nom de logarithmes hyperboliques.

De la différentielle d'un arc de section conique.

221 . Différentielle de l'arc d'ellipse. — Les coordonnées de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes peuvent s'exprimer en fonction d'un angle variable cp, par les formules

^t^asin^, ^ = ôcoS5»,

CBAPITRE VIII. 337

a et b étant les longueurs des demi-axes. On tire de là

dx-=a cosy d(^, dy^rz — b ûxifdf

et, par suite ^

ds = y/a'cos*y -T- b^sïn}fdf.

Si l'on désigne par A" Texcentricité, c'est-à-dire le rapport » l'expression précédente pourra être mise

sous la forme

(i) ds=ia^i — X*sin'y</ç>;

on peut écrire aussi

, , ds d(p -- sin'»r/»

^ y/i — /-^sin'y ^\ — X*sin*y

On a souvent besoin d'exprimer ds en fonction de Tangle X que fait la normale de la courbe avec l'axe des x. On a, par les formules précédentes,

tang> 1= — ^"^ =r f cotf), tangy — ^ col)., d'où Ton tire

^ ^ Û* coi- A -T- ^' Sin* A

et

^ a cos'ç» ^ fthd\

b sin*"À a*cos'> -i- ^'siii^À

Il vient alors

ds rrr ,

ou

OJ = •

( I — X- sin' À ; ' Il faut remarquer que d^/ n'est autre chose que Tangle

de contiDgence et qu'ainsi — représente le rayon de courbure.

222. Différentielle de l*arc d'hyperbole. — On peut obtenir pour la différentielle de Tare d'hyperbole

une expression analogue à celle qui se rapporte à l'ellipse. Prenons pour axe des x Taxe non transverse de la courbe, pour axe des y l'axe transverse, et désignons par 2a la longueur du premier de ces axes, par

k — X 2a la longueur du deuxième; l'équation de