CHAPITRE y III
et de là résulte cette expression de yjdx^ -f- dy^ = dsj
(i) dsz=a^i — X*
df
cos*y \/i — X*sin*y
Par l'extrémilé M de l'arc s dont nous supposerons Torigine en A, sur l'axe des^, menons la tangente MP et abaissons du centre la perpendiculaire OP sur cette tangente. L'équation de la droite OP sera
^siny Y -h ^i — X*sin*yX = o;
si donc on désigne par t la partie MP de la tangente qui mesure la distance du point M à la ligne OP, on aura
t= --- =- tangy v^i— /*siu»ç>, y'i — /•
et, en difTérentiant cette expression.
dt = a y/i — X
- , , ces* 9 i/i — X*sm*9
a/f^ f df sîn'y^ip \
V^7— X* \v^7^^X»sm^ "" v^7^T»lïnV'
Retranchons maintenant la formule (2) de la formule (i), il viendra
(3) ^(.- .)-^ -"^— (.^"^fJf^ - —Jf V
^i — X* ^^1 — X*sin*9 v* — ^'* sin*9>/
la quantité t est une fonction algébrique donnée, et Ton voit que la différentielle de la différence s — i a une forme analogue à celle de la différentielle d'un arc d'ellipse.
223. Différentielle de l'arc de parabole, rectification DE CET ARC. — Soit
l'équation d'une parabole rapportée à son axe et à la
tangente au sommet. En désignant par a l'angle que fait la tangente de la courbe avec l'axe des x, on a
d'où
On tire de là
Y=^pcotu, or =- cet' a.
djr = -
pdoL
sin^a
dx -=1 —
p cotai du
sin'a
Ensuite si l'on désigne par s l'arc de la courbe, compté à partir du sommet, on aura
ds=: —
pda^ sin* a '
nous mettons le signe — devant cette expression, parce que le radical qui comportait le signe ambigu zi= a disparu et que 5 est une fonction décroissante de a.
Désignons par t la longueur de la tangente comprise entre le point de contact M, extrémité de l'arc s, et le point P où elle rencontre l'axe des j^, on a
t= ou tz=^ -7— -5
cosa 2 sm'a
cuapithe VIII. 33 (
d'où, par la différent! ation,
2 siaa sin'a
en retranchant cette formule de la formule (i), on a
2 sma
Or on a vu au n® 44 que - — est la différentielle du
^ sma
logarithme népérien de tang - a ; on a donc
* — r = — - log tang - a H- const.
L'arc 5 et la ligne t s'annulent pour a = -» par conséquent la constante est nulle, et Ton a
(4) s — t—^ log tang - a. ,
224. Le résultat que nous venons d'obtenir donne immédiatement la solution d'un problème qui offre quelque intérêt. La ligne PF qui joint le point P au foyer de la parabole est perpendiculaire sur la tangente MT et la longueur de cette ligne est
2 sma
Prenons le point I, sur le prolongement de MP, tel que MI soit égale à l'arc s ; on aura
IP = f — r = — - log tang - a.
Maintenant menons la ligne IS perpendiculaire à IT, et prenons les deux droites IT, IS pour former un système d'axes coordonnés. Désignons par xely les coordon-
33a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
nées du foyer F par rapport à ces deux axes, on aura
Y = —\ — , X = — '- log tang - a. 2 sin a 2 2
La seconde de ces formules donne
îx îx
e ' n::: tang - «, e''r=cot-a,
d'où
Ix fx
sincc
et, à cause de la première formule
(tx lx\
Il est évident, par ce qui précède, que l'équation (5) est celle de la courbe décrite par le foyer de la parabole, lorsque celle-ci roule sans glisser sur la droite fixe IT. La courbe dont il s'agit se rencontre en Mécanique; elle a reçu le nom de chaînette.
Rayon de courbure des sections coniques.
223. L'équation générale des sections coniques peut toujours être ramenée à la forme
(l) jr^z= 2,pX -^ qx^^
X eXy étant des coordonnées rectangulaires; on tire de cette équation, par deux dilTércntiations successives,
Si Ton multiplie entre elles les équations (i) et (3),
