Développée de l'ellipse. — Soit

l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. On tire de cette équation, par la différentiation,

JS

b^ dx-"^'

a* à^ \dx) ^ b* r/.r* '

dx

puis

en posant

c'—a^-^bK

Les formules

«« = JT —

rf.r« / cLr

ri=r-i-

djc'-

dx^

qui déterminent les coordonnées du centre de courbure, donnent alors

r' ri— —

Si donc on suppose c* positif et que l'on fasse

on aura, par les équations (2), en ayant égard à l'équation (i),

ce qui est l'équation de la développée de l'ellipse. Cette développée G H G' II' a pour axes ceux de la courbe, et les points G, G', où elle rencontre l'axe focal, sont situés entre les foyers F, F' de l'ellipse, à cause de «i <[c; on voit en outre, par les formules (2), que chaque quadrant de Tellipse et le quadrant correspondant de la

développée sont situés dans deux des angles adjacents formés avec l'une des directions de l'axe des x, par les

chapithe VIII. 337

deux directions de Taxe des j^. On doit remarquer aussi que la développée sera tout entière contenue dans Tellipse^ si Ton a i| <^ i ou

elle coupera l'ellipse aux extrémités du petit axe, si Ton a

enfin elle coupera Tellipse en quatre points si l'on a

Les rayons de courbure de l'ellipse aux extrémités du petit axe et du grand axe sont respectivement b -h b^ et

a — a^ ou -7- et — j la longueur du quadrant de la développée est donc

al

Si l'on dill'érentie l'équation (3) deux fois de suite, il viendra, en prenant dxt = const.,

^1 \aj by \bj djc^

ce qui donne

dx, i -' JU' - î -i^'

le rayon de courbure R| de la développée de l'ellipse a donc pour expression