II, — J
s. — Cale. dlff. aa
dy La valeur de -— est nulle aux points G, G' où la
courbe rencontre Taxe des x\ elle est infinie aux points H, H' où elle rencontre Taxe des j\ il s^ensuit que ces quatre points sont des points de rebroussement du premier genre; pour chacun d'eux le rayon de courbure R|
est nul. La valeur de --~ei celle dey^ sont toujours de
mc^me signe : la développée est donc partout convexe vers Taxe des abscisses.
228. Développée de l'hyperbole. — L'analyse qui nous a conduit à la développée de l'ellipse ne suppose pas que b^ soit une quantité positive; elle s'applique donc au cas de l'hyperbole. Si l'on écrit — b^ au lieu de b^y la quantité désignée par c^ au numéro précédent aura pour valeur
C* zzz a» H- b\
et les équations (i) et (3) de ce numéro deviendront
l'équation (i) est celle de l'hyperbole et les équations (2) donnent les coordonnées du centre de courbure de cette courbe. Si l'on pose, comme au numéro précédent,
l'élimination de a: et de ^ donnera
On reconnaît facilement, par ces formules, que la développée de l'hyperbole est formée de deux branches infi-
CHAPiTUE yiii. 339
nies HGK, H'CK', symétriques par rapport aux deux axes, convexes vers l'axe transverse de Thyperbole ; les
points G, G' où elle rencontre cet axe sont des points de rebrousscment du premier genre ; ils sont situés au delà des foyers F, F' de l'hyperbole, à cause de ai > c.
229. Développée de la para.bole. — L'équation de la parabole rapportée à son*axe et à la tangente au sommet est
la différentiation donne
di
d'où
ipx
et il en résulte, pour les coordonnées X|, y^ du centre de courbure, les valeurs suivantes :.
•Cl ' ûS ^~~
dr*\ dy
I H — "— \ — r/.r* / dx
djè'
dx^
■^(^i—p)^ x = —y/p^ji;
en portant ces valeurs dans l'équation de la parabole, on obtiendra celle de la développée, savoir
On en tire, par la difTérentiation, en prenant Xt pour variable indépendante,
yp
ces formules montrent que la développée de la parabole se compose de deux branches infinies GK, GL qui se réunissent au point G de Taxe; ce point G, dont l'ab-
scisse est p, est un point de rebroussement du premier
genre. Comme j^i et — ^ ont le même signe, la courbe
présente constamment sa convexité vers Taxe de la parabole.
De la cjcloïdc.
230. La cycloïde est la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe indéfinie.
chapithe VIII. 34'
Prenons pour axe des x la droite Kx sur laquelle roule la circonférence donnée, et pour origine Tun des points A de la droite Kx avec lesquels le point générateur de la cycloïde peut venir coïncider. Comme le mouvement du cercle mobile peut se perpétuer indéfiniment et qu^on peut reculer son origine autant que Ton voudra, la cycloïde est composée d'une infinité de branches égales entre elles, situées d'un même côté de la droite Ax, à droite et à gauche du point A ; il est bien aisé de former Téquation de cette courbe. L'axe des j^ étant perpendiculaire à l'axe Ax des abscisses, considérons un point quelconque M de la cvcloïde, et supposons que H soit
le point de contact du cercle générateur avec Ax, dans sa position actuelle.
Soient
les coordonnées du point M ; joignons ce point au centre O du cercle générateur HMG et abaissons la perpendiculaire MI sur GII. On aura
