X - AH - PII =: AH — MI, jr=:OH

mais si l'on désigne para le rayon du cercle générateur, par <p l'angle formé par la direction du rayon OM avec la direction OH qui est celle des r négatives, on aura

MI = a sin f>, 01 = a cos^ ;

d^ailleurs, la ligne Ali est égale à la longueur de Tare de cercle MH = acf, d'après la définition de la cycloïde. On a donc

j jr' z=z a[i — COS9),

et Ton obtiendra tous les points de la courbe en donnant à cp, dans ces formules, toutes les valeurs comprises entre — 00 et -f- 00 .

La seconde des formules (i) donne

( 2 ) coso» -= -y f-- arc ces 9

puis

[5] Sin©r= y

et, en substituant ces valeurs dans la première formule, on obtient

(4) x=:ûarccos sliay — ^*,

le radical devant être pris avec l'un et l'autre signe.

L'équation (4) est celle de la courbe entre les coordonnées X et j^, mais il n'y a aucun avantage à la substituer aux formules (i) et nous conserverons celles-ci.

231 . Tangente et noumale'a la cycloïde. — En différentiant les équations (i), il vient

( dxz=^a{\ — cosy)r/ç),

[ djr = a sÏTïfdf,

L'expression de la sous-normale N' est, en vertu des formules (1) et (5),

(6) N'^/^=asiny=Pn;

(Le

il résulte de là que Mil est la normale de la courbe et