CHAPITRE VIII

que, par suite, la tangente est la ligne MG qui joint le point M au point G diamétralement opposé à H, dans le cercle générateur.

Ce résultat conduit à un procédé fort simple, pour construire la tangente en un point quelconque M de la cycloïde. Remarquons d'abord que te maximum de y est 2 a, et que ce maximum a lieu quand cy est égal à une demi-circonférence où à un multiple impair de la demicirconférence ; mais, comme ce que nous disons de Tune des branches de la courbe s'applique à toutes les autres, nous n'avons à considérer que la seule. branche qui a le point A pour origine ; alors la valeur de x qui répond au maximum est na : c'est l'abscisse du milieu de Xz.hase de la cycloïde. Cela posé, construisons sur l'ordonnée maxima CD, comme diamètre, le cercle générateur GmD; menons ensuite, par le point M, la droite Mm parallèle à Ax, joignons le point m, où cette droite rencontre la demi-circonférence CmD, au point C, et menons enfin, par le point M, la droite MG parallèle à mC; cette droite sera la tangente demandée.

Au moyen de la formule (3), l'expression de la sousnormale N' peut être mise sous la forme

(7) N'rzi V^2«J — jS

et, comme la normale N est égale à y^N'^-Hj ^, on a

ou encore

(8) N: a^/sin-^.

Enfin, si dans la formule (7) on écrit au lieu de N' son expression y ■'^ '^ on ohliendra V et/ uation différentielle

344 C4LCUL DIFFÉRENTIEL.

de la cycloïde, savoir

!••>) di = \/-y-'

11 y a quelquefois avantage à transporter Torigine des coordonnées au sQmmet C de la cycloïde et à prendre pour axe des x et desjK les directions CG et CD. Il faut alors remplacer, dans nos formules, x par ira 4- x el^ par aa — j\ si, par exemple, on fait ce changement dans Téquation (9), elle deviendra

nous n'avons pas changé le signe du premier membre, |)arce que le signe du second membre demeure indéterminé.

232. Quadrature de la cycloïde. — Désignons par u Taire comprise entre la courbe, sa base et Tordonnée MP=j, on a

du z=z ydx r= ^/* ( I — COS^)'^^^ = «* (l — a COSy -î- COS* 9 j'/f , .* ,14- COS2a> 1. j o

ou, en mettant ^ au lieu de cos*®,

rftf =r û* f 2 COS7 H COS2 ^ j dy\

le second membre de cette formule est évidemment la différentielle de la fonction

'*(-î'-2siny-f-isin2yV,

^railleurs cette fonction s'annule, ainsi que u, eu mémo temps que c^; on a donc

;io) tt^a*/-y — 2siny H- -T sin2y] •