CHAPITRE II

Théorème I. — Soit f[x) une fonction de xqid reste continue pour les valeurs de x comprises entre des limites données, et qui, pour ces valeurs, ait une dérivée f\x) déterminée. Sixo et X désignent deux va-leurs de x comprises entre les mêmes limites, on aura

OTi étant une valeur comprise entre Xq et X. En efiet, le rapport

/fXl-/(.r,)

a, par hypothèse, une valeur finie; et, si Ton nomme A cette valeur, on aura

(i) [/(X) - AX] -[/(^-o) - Aj-o] = o.

Désignons par (^(x) la fonction de x définie par la formule

(2) 7(.r) = [/{x) - A.r] - [/(xo) - Ax^J,

on aura, à cause de l'égalité (i),

en sorte que ç(x) s'annule pour j: = Xo et pour j: = X. Supposons, pour fixer les idées, X ^ Xo et faisons croître xdexo à X; la fonction <^{x) est d'abord nulle. Si Ton admet qu'elle ne soit pas constamment nulle, pour les valeurs de x comprises entre Xq et X, il faudra qu'elle commence à croître en prenant des valeurs positives, ou à décroître en prenant des valeurs négatives, soit à partir de a' = Xo» soit à partir d'une valeur de x comprise entre Xo et X. Si les valeurs dont il s'agit sont positives, comme ^{x) est continue et qu'elle doit s'annuler pour

S. — Cale, diff. a

l8 CALCUL DIFFÉRElfTIEL.

x = X, il est évident qu'il y aura une valeur Xt entre Xq et X telle, que

sera supérieure ou au moins égale aux valeurs voisines

h étant une quantité aussi petite que Ton voudra. Si la fonction ^(x), en cessant d'être nulle, prend des valeurs négatives, le même raisonnement prouve qu'il existe une valeur Xi entre Xo et X telle, que

sera inférieure ou au plus égale aux valeurs voisines

Ainsi, dans l'un et l'autre cas, la valeur de Xi sera telle, que les différences

seront de même signe, et, par suite, les rapports

y(jr| — /i^ — f[.r'^) y ' .r, -4- /< ; — y (.r, )

seront de signes contraires.

Il faut remarquer que nous n'excluons pas l'hypothèse dans laquelle l'un des rapports précédents se réduit à zéro, ce qui exige que la fonction <f{x) conserve la même valeur pour les valeurs de x comprises dans un intervalle fini. En particulier, si la fonction ç [x) est constamment nulle pour les valeurs de x comprises entre Xq et X, les rapports (3) sont nuls l'un et l'autre.

Les rapports (3) tendent vers la même limite quand h tend vers zéro, car nous admettons que la fonctiony^(ar) a une dérivée déterminée, et la même chose a lieu, en