CHAPITRE YIII. 34s
Si Ton veut Taire, lotale U, comprise entre la première branche de la courbe et sa base, il faudra faire cp :=: 21: dans la formule précédente, ce qui donnera
(11) Ur=37r«»;
Taire entière d*une branche de cycloïde est donc triple
de Taire du cercle générateur.
233. Rectification de la cycloïde. — Les formules (5) (n° 231 ) donnent
dx^ -4- dj-^ iJL 2 a' ( I — cos y ) ily^ rzz ^ a* sin* - f d^*^
d'où
; 1 2) ds^^ ia sin - <ftl^\
le second membre de celte formule est la différentielle de — /\a cos - y ; on a donc
s ^=z— ha cos - 8) -f- const.
Prenons le point A pour origine de Tare 5; cet arc s'annulant avec f , la constante est égale à 4^> ^^ ion a
ou
4ûfl — cos^yj,
i3) j=r; Oasin' 7 ©.
Si Ton veut avoir la longueur S de Tune des branches de la courbe, il faudra faire cj>= 27r, dans la formule précédente, et Ton aura ^
Ainsi la longueur d'une branche entière de cycloïde est égale au quadruple du diamètre du cercle générateur.
234. Rayon de courbure de la cycloïde. — L'angle que fait la tangente de la courbe avec Taxe des y étant égal à la moitié de Tangle cp, il s'ensuit que l'angle de
contingence est égal à - rfy ; le rayon de courbure R est
donc
ds
dt r
mais la formule (12) montre que — est égal à aa sin - cp,
ce qui, d'après la formule (8), est précisément l'expression de la normale N ; on a donc
ainsi, dans la cycloïde, le rayon de courbure est double de la normale.
235. Développée de la cycloïde. — Le résultat qui précède permet de trouver sans calcul la développée de la cycloïde. Effectivement, prolongeons le diamètre HG du cercle O, d'une quantité HL = HG, au-dessous de Ax {voir la figure du n" 230), et construisons, sur HL comme diamètre, la circonférence O' qui rencontre en N la normale MH prolongée, menons ensuite à cette circonférence la tangente EL parallèle à Ax, qui rencontre en E la direction de l'ordonnée maxîma CD. L'égalité des, angles MHG, LHN entraîne celle des arcs MG, LN et celle des arcs supplémentaires MH, NH ; les cordes MH et NH sont donc elles-mêmes égales, et, par conséquent, le centre de courbure relatif au point M est situé en N; en outre, l'arc HN est égal à la longueur AH et il s'ensuit que le supplément LN de cet arc est égal à HD ou à LE.
Il résulte de là que la développée de la cycloïde peut être engendrée par un point N d'une circonférence de
