CHAPITRE YIII

rayon a qui roulerait sans glisser sur une parallèle EL à k.x menée au-dessous de cette droite à une distance égale au diamètre du cercle, de manière que les positions du point générateur N sur la droite EL répondent aux mêmes abscisses que les ordonnées maxima de la cycloïde proposée. Cette développée est donc une seconde cycloïde égale à la première.

On peut arriver à la même conséquence sans invoquer la formule qui fait connaître le rayon de courbure. En effet, MG étant la tangente à la première cycloïde au point M, il s'ensuit que NH est la tangente en N à la seconde cycloïde ; celle-ci est donc l'enveloppe des normales de la proposée, et par conséquent elle est sa développée.

Enfin la propriété que nous étudions résulte encore très-facilement des formules générales qui donnent les coordonnées XoJ^j du centre de courbure. La différenciation des équations (5) (n° 231) donne, en prenant d^ constante,

(16) d}x^=z a^vci^dfjf^^ d*x = acosfdf*,

et au moyen des formules f 5) et (16), les formules du n" 197 donnent

ar, = a(ç) -I- siny), j, =r — «(i — cosç>;.

Si maintenant on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point dont les coordonnées sont x =. i:a, y = — aa, il faudra écrire ra-h-x^ et — 2a -f-^i au lieu de Xi et de r^ et, si Ton met en même temps (ft -i-i: au lieu de cf , on aura les équations

^i=«î?i — sin^i), Jr^ — a(i — cos9i^

qui représentent bien une cycloïde égale à la proposée.

236. Cette propriété de la cycloïde donne immédiatement sa rectification. En eflet, l'arc EN de la développée est égal à la différence

EC — MN = 4fl — 4a sin - 7

des rayons de courbure de la proposée aux points C et M. D'ailleurs, il est évident que Tare s = AM s'obtiendra en changeant cp en tt — r^ dans l'expression précédente; on a donc

s= Aa — Aa cos - © =r 8a sin* - 9,

comme nous l'avons déjà trouvé plus haut.

La même propriété de la cycloïde fournit encore un moyen d'obtenir la quadrature de cette courbe, mais nous nous bornerons à cette indication que le lecteur pourra facilement développer.

Des épicjcloïdes.

237. On nomme épicycloïde la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une circonférence fixe.»La cycloïde appartient à la classe des épicycloïdes ; elle répond au cas où le rayon de la circonférence fixe devient infini.

L'épicycloïde est dite intérieure ou extérieure, selon qu'elle est située dans l'intérieur du cercle fixe, ou au dehors de ce cercle.

Toute épicycloïde peut être engendrée par le moyen de deux cercles différents roulant sur le même cercle fixe. Les rayons de ces cercles ont pour somme ou pour différence le rayon du cercle fixe, selon qu'il s'agit d'une épicycloïde intérieure ou d'une épicycloïde extérieure.

En effet, supposons que l'épicycloïde intérieure ou