CHAPITRE VIII

des centres des deux circonférences avec Taxe des x ; les équations de Tépicycloïde prendront cette forme

sin -

- rzrCOSi}» ( I-h 2/1810* -^ ) -h tLsilltL — 7— >

sm -

- =cos^ ( I H- in sin* — | — -i» cosj»

Supposons maintenant que le rayon a du cercle g(^nérateur devienne infini, n tendra lui-même vers Tinfini , le

sin-

rapport — ; — tendra vers l'unité et 2/1 sin*— vers zéro; ^^ -if 2/1

n on a donc, dans ce cas limite,

- =cos^ -f-tpsini};,

- iirsin>p — ^cos^/.

Ces équations, qu^il est bien aisé de former directement, appartiennent à la développante du cercle ; celle-ci se compose de deux branches infinies dont le point de réunion est un point de rebrousseraent, et qui se rapportent respectivement aux deux mouvements de sens contraires qu'on peut attribuer à la tangente génératrice.

La propriété de répicycloïde d'être semblable à sa développée n'a plus lieu à la rigueur dans ce cas limite : cependant on doit regarder la développante du cercle et la circonférence elle-même comme appartenant à la classe d^s épicycloïdes, et l'une et l'autre courbe répond au cas de n = ^ ; car, si l'on fait rouler un cercle de rayon a

358 CALCUL DIFFÉBENTIEL.

sar un cercJe infiniment petit, le point du cercle mobile qui est, à Torigine, sur la ligne des centres décrira une courbe injfiniment peu différente de la circonférence de rayon 2a.

De la spirale d' Archimède et de la spirale

hyperbolique,

245. La spirale d' A rchimède est la courbe représentée en coordonnées polaires par Téquation

où a désigne une ligne donnée.

Pour la construire, il suffît de décrire un cercle de l'origine comme centre avec le rayon a\ les arcs de ce cercle comptés à partir de l'axe fixe seront les longueurs des rayons vecteurs de la courbe dont les directions passent par leurs extrémités.

L'inclinaison jix de la tangente sur le rayon vecteur, la 80us-tàngente N' et la sous-normale "F ont ici pour valeurs

cita

ainsi la sous-normale est constante, ce qui fournit un procédé facile pour construire la tangente à la courbe.

CHAFITHE Vlîl. 359

Le rayon de courbure est, en introduisant la normale

et, si Ton désigne par a! la projection de la sous-normale a sur la normale N, on aura

expression qu'il est facile de construire.

246. On nomme spirale hyperbolique la courbe représentée en coordonnées polaires par Téquatîon

où a est une ligne donnée. Pourti = o, |0 est infini; il décroît quand o) augmente et s'annule pour co = oo . La courbe fait ainsi une infinité de révolutions autour de

Torigine O sans jamais atteindre ce point qui est un point asymptote. L'ordonnée MP = p sinw de la courbe a pour valeur

sm fù

ta

et elle se réduit à a pour gù = o ; il en résulte que la courbe a pour asymptote la parallèle à Taxe menée à une distance a de cet axe.

Les quantités tang|ui, T, N' ont ici pour valeurs

tangft = —'—= — «, T' = — a, N' = — JIJ5;

36o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la sous-tangente étant constante, il en résulte une construction facile de la tangente à la courbe.

La construction du rayon de courbure n'a elle-même aucune difficulté; mais elle n'offre pas assez d'intérêt pour que nous nous arrêtions à la développer.

De la spirale logarithmique,

247. La spirale logarithmique est la courbe représentée en coordonnées polaires par l'équation

OÙ a désigne une ligne donnée, m un nombre donné.

Il faut remarquer que cette équation représente la même courbe, quelle que soit la ligne donnée a\ car, si l'on fait tourner l'axe fixe à partir duquel on compte l'angle &> d'une quantité quelconque a, pour avoir l'équation de la courbe rapportée à ce nouvel axe, on devra remplacer tù par gd + a, ce qui donnera, en posant a! = ae*"*.

On pourrait, d'après cela, supposer /j=rr, mais nous conserverons l'équation (i), pour l'homogénéité des formules.

L'équation (i) donne |C = a = OApour o) = o, et si l'on fait croître &> de o à -f- oo , p prendra des valeurs correspondantes infiniment croissantes. Au contraire,

p décroîtra de a à o, si l'on donne à o) des valeurs négatives décroissantes de o à — oo . Ainsi la courbe fait, dans