CHAPITRE VIII

Tun et Tautre sens, une infinité de révolutions autour du pôle, à partir du point Â.

La difTérentiation de Téquation (i) donne

(2 ) -j^- =z mae'"*', ou -^=mp.

Par suite, Tinclinaison jtx de la tangente sur le rajon vecteur, la sous-tangente T' et la sous-normale N' auront pour valeurs

(3) tangp=i, T':=£, N'=r=mp.

La première de ces formules (3) exprime que :

Dans la spirale logarithmique, la tangente fait un angle constant as^ec le rayon ^vecteur,

La différentielle de Taire d'un secteur de la courbe est

du :=. — ù^dtù = pdû^

pdp est la différentielle de -- : on a donc

u = -, h const.

Si Ton veut que Taire u s'annule en même temps que co, la constante sera — - — 1 et 1 on aura

La diff(érentielle ds de Tare de la courbe est

4) as = ^dp* -+- jB* ^(M* =z^m*-hi pfi<a = a^m*-hi e^**dta rr ^ - — WJ),

d'où

S - - p -f- const. :

si Ton compte l'arc s à partir du point A, pour lequel p est égal à a, on aura

L'angle de contingence, qui est en général dfx -h dtù,

se réduit ici à rfw; le rayon de courbure R est donc — j et, d'après les formules (2) et (4), on a

Or cette expression est celle de la longueur N = ^p^ ■+- N'* de la normale ; donc le centre de courbure n'est autre que l'extrémité K de la sous-normale.

Il est bien facile, d'après cela, d'avoir Téquation de la développée de la spirale logarithmique. En eflel, les coordonnées pt, ck>| du centre de courbure K sont

Pi = N' = mp = mae"**^y w. = — h «,

ce qui donne, par l'élimination de o),

(6) pi =^ mae

donc la spirale logarithmique a pour développée une deuxième spirale logarithmique qui lui est égale et qui a le môme pôle.

248. Ainsi que nous l'avons dit plus haut, on peut ramener l'équation (6) à la forme ( i ) en faisant tourner l'axe autour du pôle d'une quantité convenable or; comme on est libre d'ajouter à a ou d'en retrancher un nombre entier de circonférences sans que la nouvelle direction de l'axe soit changée, j'écrirai aH-2i7r au lieu de a, i étant un entier indéterminé, a un angle compris entre o et'2;r.

CHAPITKE VIII. 363

Je remplacerai donc dans Téquation (6) «< parw-j-a+aiir, et en même temps j'écrirai p au lieu de p^ ] alors l'équation de la développée sera

p -szz mae ^ *^ ,

et elle se réduira à

jB =r ae"^^ ,

si l'on détermine a par la condition

mfa-+-»i«— J)

me ^ •''=±1,

ou

la caractéristique log dénotant un logarithme népérien. Si le nombre ni est tel que l'on ait

(8) }2Rfî^(4,,)!!,

l'équation (7) donnera

et, dans ce cas, la spirale logarithmique (i) sera, à ellemême, sa propre développée. La fonction —^ — 5 dont la

m log m

dérivée est . - ; croît de — 00 à H — 1 quand on fait

mr e ^

croître m de o à -j- e ; elle décroît ensuite de - à o quand m

augmente de -f- e à -h 00 ; il en résulte que, si le nombre entier i est positif, il y aura une valeur de m propre à vérifier Téquation (8) ; donc il existe une infinité de spirales logarithmiques qui ont cette propriété remarquable de coïncider avec leur développée.

364 CALCUL DIFFÉREITTIEL.

application de la théorie des ern^eloppes,

249. Nous terminerons ce Chapitre en présentant deux exemples de la méthode exposée au n°207, pour trouver les courbes enveloppes.

Problème I. — Les variables Xt et y^ étant liées entre elles par la relation

oii a et b sont des constantes données, on demande de tromper l'enveloppe des courbes représentées par /'eifuation

Xi et j^i étant des fonctions d'un même paramètre variable, il faut d'abord former la différentielle de l'équation (2), par rapport à ce paramètre; on a ainsi

mais, comme Xt elj^ sont liées par l'équation (i), on a aussi, en différentiant cette équation,

l'élimination de -j-^ entre les deux équations précédentes donne

CHÀPITEE VIII. 365

Cette équation (3) est celle qui résulte de la différentiation de Téquation (2), par rapport au paramètre variable. Or, en vertu des équations (i) et (a), la somme des numérateurs des membres de la formule (3) est égale à i , et la même chose a lieu à Tégard des dénominateurs; par conséquent chaque membre de cette formule (3) doit être égalé à Tunité; on a donc

L'élimination de X| et^'< entre les équations (i) et (4) se fait immédiatement; on obtient pour Téquation de Tenveloppe demandée

mn mn

Il faut remarquer le cas où Ton a b =::.a, m=z 2, 71= i; si les coordonnées sont rectangulaires, Tenveloppée est une droite dont la partie comprise entre les axes a une longueur constante 2a; Tenveloppe représentée par Téquation

est une épicycloïde, comme on Ta vu au n° 238.

250. Problème II. — Des rajons parallèles viennent rencontrer la circonférence d'un cercle et se réfléchissent en faisant avec la normale un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence; on demande de troui^er l'env^eloppe desrajons réfléchis.

L'enveloppe demandée est ce que l'on nomme une caustique par réflexion. Prenons pour axes coordonnés deux diamètres rectangulaires dont l'un, celui des x, soit parallèle aux rayons incidents. Soient acos':^, asino) les

366 CALCUL DIPFÉBKNTIEL.

coordonnées du point de la circonférence où tombe an rayon incident, la direction du rayon réQécIiî fera avec l'axe des x l'angle 3<f>, et l'équation de ce rayon sera

{^ — asiiif" z= tangay(j — acosp)

11 reste à éliminer f entre cette équation et la suivante :

qu'on en déduit par la dilTérenliatîon relative à ^. En résolvant ces deux équations par rapport à x pi y, il vient

j-=7(3sinT — sin3f].

En se reportant aux formules du n" 238, on reconnatl que la caustique représentée par ces équations n'est autre chose qu'une épîcycloïde extérieure engendrée par

un cercle d'un rayon égal ^ 7 <i, roulant sur uq cercle de rayon - a concentrique au cercle donn^.

CHAPITRK IX. 367