CHAPITRE IX

THÉORIE DBS GOUUBES GAUCHES ET DES SUBFACES

COUUBES.

De la tangente et du plan normal d'une courbe

quelconque.

251. On nomme courbe gauche une courbe dont tous les points ne sont pas situés dans un même plan.

Considérons une courbe plane ou gauche rapportée à troisaxes de coordonnées rectilignesOj:, Oj^, Oz. Soient X, y y z les coordonnées d'un point M de cette courbe, X -H Ar, y -+- Ajs z -h ^z les coordonnées d'un autre point M' de la même courbe; les équations de la sécante MM' seront

Les coordonnées j' et z peuvent être regardées comme des fonctions données de x\ alors, si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les rapports -- ? —

tendront vers les limites respectives - -1 -- » et les précédentes équations deviendront à la limite

Telles sont les équations de la tangente à la courbe au point M; on peut les comprendre dans une formule

unique, savoir

dx djr liz

Dans le cas des coordonnées rectangulaires, les cosinus des angles que forme, avec les directions positives des axes, Tune ou Tautre des deux directions de la tangente, sont proportionnels aux différentielles djc, djy dz.

On nomme plan normal d'une courbe celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Toute droite menée par ce point, dans le plan normal, est dite une normale. D'après la remarque que nous venons de faire y Téquation du plan normal sera, dans le cas des coordonnées rectangulaires,

(3) [lL — x)<U^[Y^x)dx-^,Z — z]dz--.o.

232. Si les coordonnées x, jy z sont données en fonction d'une variable indépendante f , de manière que Ton ait

on aura, par la différentiation,

dT — tf'[t)dt, dyz=z]/[t)dt^ dz zr^ a' [t)dt^

et, si Ton porte ces valeurs dans les équations de la tangente et du plan normal, celles-ci deviendront

(5) f(t) -yil] - a'{t] '

([X-f(0]f'(') + [Y-|(')]fW + LZ-«'(')M') = o. Si la courbe est définie par deux équations

(6) /(r,^, a)=ro, F(x,j, »)^o,

entre les coordonnées x^j-f z, on différentiera ces équa-