CHAPITRE IX
lions et Ton calculera deux des différentielles dx, dy, dz : enfin on substituera ces valeurs dans les équations (2) et (3). La différentiation des équations (6) donne
/ à/ ^ àf ^ df ^
i ÔF
et au lieu d'opérer comme nous venons de le dire pour avoir les équations de la tangente, il est évident qu*on arrivera au même résultat en tirant des équations (2) les valeurs de dj" et de dz, et en les portant dans les équations (7). Celles-ci sont homogènes par rapport à dx, dj, dz, et ces différentielles sont proportionnelles à X — X, Y — y, Z — z, d'après la formule (2); le résultat de notre élimination sera donc
d? dV dF
Chacune des équations (8) représente un plan, et leur
système appartient à une droite déterminée, à moins
que les dérivées partielles ne cessent d'avoir des valeurs
déterminées, ou qu'elles ne soient liées entre elles par
les relations
dF dF dF
àr
dz
~ df dr
àf dz
Lorsque les coordonnées x,y, z du point M satisfont aux équations (9), les équations (7) ne déterminent plus les rapports de deux des différentielles dx, dy, dz à la troisième, et l'on est en présence d'un point singulier,
S. — Cale, dlff, a4
Nous nous bornons à cette simple indication que nous ne pourrions développer sans sortir des limites que nous nous sommes fixées.
Il faut remarquer que Tune des deux équations de la courbe intervient seule dans la formation de Tune ou de l'autre des équations (8) de la tangente; par conséquent le plan que représente cette équation dépend uniquement de la surface représentée par celle des équations de la courbe qui lui correspond ; on va voir, dans ce qui suit, le développement de cette remarque.
Du plan tangent et de la normale à une surface
courbe.
253. Considérons une surface rapportée à trois axes de coordonnées rectilignes Ox, Ojj Oz et représentée par Téquation
(1) f[^jX^^) = o;
désignons par x, jj z les coordonnées de Tun quelconque de ses points M.
Traçons sur la surface une ligne quelconque qui passe par le point M ; cette ligne peut être regardée comme rintersection de la surface donnée et d'une autre surface. Soit
Téquation de cette deuxième surface; la tangente au point M de la courbe que nous avons tracée sera (n° 282) représentée par les deux équations
^)F dF à?
