CHAPITRE II. JQ
conséquence, à l'égard de ^{j^)] d'ailleurs ces rapports sont de signes contraires : donc leur limite est zéro. Ainsi l'on a
liro ^-^— ^ , — — = o,
OU; à cause de l'équation (2), c'est-à-dire
On a donc
A .Ta
ou
(4) ./(X)-/(:r,)z=(X-Xo)/'(x.).
comme on l'avait annoncé.
Nous avons supposé TL^Xq] mais, comme la formule précédente ne change pas parla permutation des lettres Xo, X, elle est évidemment indépendante de cette hj^pothèse.
Si l'on fait
la quantité x^, comprise entre Xo etXo -h A, pourra être représentée par Xo 4-0 A, 9 étant une quantité comprise entre zéro et 1 ; on peut donc écrire
REMiiiiQUE. — La démonstration qui précède est due à M. Ossian Bonnet. Il faut remarquer qu'elle ne suppose en aucune façon la continuité de la dérivée /' ( J"J ; elle exige seulement que cette dérivée existe et ait une valeur déterminée.
ao CALCUL DIXFÉREDTIEL.
15. TnÉonÈME II. — Si la fonction f {x) est constante pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la dérivée f{x) est nulle pour les mêmes valeursdex. Réciproquement, si la dérivée f [x) estnulle pour les valeurs de x comprises entre deux limites, la fonction f (.r) a une valeur constante pour les valeurs de X comprises entre les mêmes limites.
i" Supposons que la foDCtîoDy(x) soîl constante pour les valeurs de x comprises entre deux limites données, et soient Xq, Xa-\- h deux de ces valeurs de x, on aura
et, en passant à la limite,
2° Supposons (\vkç f'[x) soit nulle pour les valeurs de X comprises entre deux limites données, et soient x^ et Xo+/{deux valeurs quelconques de xcomprises'entre ces limites, on aura (n" H)
Xo + Oh étant une valeur comprise entre les limites données. Le second membre de cette formule est nul, par hypothèse, et l'on a
/(.-. + 4) =/('.)■ la foncliony(x) a donc une valeur constante.
ConoLLtiRB. — Lorsifue deux fonctions /{x), F{x) de la variable x ne diffèrent que par une constante, pour les valeurs de x comprises entre deux limites données, les dérivées de ces fonctions sont égales entre elles pour les mêmes valeurs de x. Réciproquement, si les dérivées f'[x), V{x) de deux fonctions f[x), F{x)
