CHAPITRE IX
Il résulte de là que le plan représenté par l'équation (3) contient toutes les tangentes menées par le point M aux diverses courbes que Ton peut tracer, par ce point, sur la surface donnée ; il est dit le plan tangent de cette surface au point M.
La précédente conclusion suppose que les rapports de deux des dérivées partielles
dx djr dz
à la troisième aient, au point M, des valeurs déterminées. Si le contraire a lieu, le point M est un point singulier de la surface ; tel est, par exemple, le cas du sommet, dans les surfaces coniques.
On nomme normale en un point d'une surface la perpendiculaire menée au plan tangent, par le point de contact. Tout plan mené par la normale est dit un plan normal, L^équation (3^ étant celle du plan tangent au point M de la surface (i), si les axes sont rectangulaires, les équations de la normale seront comprises dans la formule
c^ ~ c)/ - ^ • dx àx dz
254. Si Ton prend x et y pour variables indépendantes, et qu^on représente par
(6) dz^-pdûc -{- qdjr
la différentielle totale de z, on aura, par la différentiation de l'équation (1),
à/ . à/ àf àf
àx az ox Oz
et, en introduisant les quantités p, q, Téquation du plan
iy2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tangent deviendra
les équations de la normale seront, en même temps, dans rhypo thèse des axes rectangulaires,
255. Si Ton demande de mener à la surface représentée par l'équation (() un plan tangent passant par un point donné dont les coordonnées soient .2^0,^07 ^o' ^^ suffira de trouver le point de contact; les coordonnées de ce point satisfont aux équations
et celles-ci déterminent, sur la surface donnée, une ligne qui est le lieu du point demandé. Si Ton joint le point donné au point de contact de la surface et de Tun des plans tangents, on aura une droite dont les équations seront
x—xo jr—JTo z-^z^^
l'élimination de x, y, z entre ces équations et les deux précédentes donnera l'équation d'une surface conique qui aura évidemment le même plan tangent que la surface donnée, en chacun des points de la courbe représentée par les équations (9); cette surface conique sera donc circonscrite à la surface donnée. Pour justifier notre assertion, il suffit de remarquer que le plan tangent à la surface et le plan tangent au cône contiennent l'un et l'autre la tangente de la courbe représentée par les équations (9) et la droite représentée par les équa-
CHÀPITAE IX* 373
tîons (10); il en résulte que les deux plans tangents coïncident.
Lorsque le point (a:©, y^y z^) se déplace sur la droite
et qu'il s'éloigne à l'infini, la deuxième équation (9) devient à la limite
, ^ df ,df df
("> %x-^*5:r'^di = °-'
en la joignant à l'équation (i), on aura les équations de la courbe, lieu des points de contact de la surface donnée avec le cj^lindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à la droite représentée par les équations
la génératrice du cylindre a pour équations
{12) X — :r = flr(Z--z), X'-X — b[Z — z),
et l'on obtiendra l'équalion de ce cylindre en éliminant Xy jTj z entre les équations (i), (i i) et (la).
Emploi des coordonnées homogènes.
256. Si Ton désigne les coordonnées rectilignes d'un point par les rapports
X y z u u u toute équation
dont le premier membre est une fonction homogène de Xjjj Zj u, pourra être regardée comme celle d'une
374 CALCUL DIFFÉRElfTIEL.
surface. Par un raisonnement analogue à celui qui nous a servi au n» 171, on a l'équation suivante pour représenter le plan tangent :
\u «yd^ Vu u)dr'^\[] u)dz'^\\] ujdu
Or, par la propriété des fonctions homogènes, l'équation (i) peut se mettre sous la forme
àf df àf df « -^ -h/ -•'- -I- z — -h « ;î- = o, ox ôjr ôz ou
l'équation du plan tangent se réduit donc à
* ' ax dj az au
Et de même, si l'on considère la courbe représentée par les deux équations homogènes
/[Xyjr, Z, U] :=0, F(X,^, Zy «) = 0,
les équations de la tangente à cette courbe seront
xf-.T-f.-zf+uf=o.
OX ojr ôz ou
^ÔF ^ÔF ^dF ,, dF
ox ay Oz ou
On voit que, si l'équation (i) est algébrique et du degré //i, l'équation (2) ne sera que du degré m — i, par rapport aux coordonnées du point de contact. La démonstration de cette propriété exige une transformation quand on emploie les coordonnées ordinaires.
