CHAPITRE IX
Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette expression par ds, puis qu'on remplace ensuite, sous le radical, ds^ et d^s par leur valeur en fonction des coordonnées, il viendra
ds*
ce qui peut encore se mettre sous la forme
(3) d(T = 'j-^^{efy(Pz — dzd^j^y^ [dzd^x — </x^/*z)* + [dxd^y — dfd^x)^.
ttS
Dans ces diverses expressions de rfa, la variable indépendante n'est pas désignée ; si l'on prend l'arc s pour cette variable, la différentielle d^s sera nulle, et la formule (:à) donnera cette expression fort simple
ds D'après la formule (3) , le rayon de courbure R ou --
a pour valeur, en fonction des seules coordonnées,
{ dx^ -+- dr'^ -4- dz^ Y
yJ[dyd*z-'dzd^xY -h [dzd^x —dxd^zY -^[dxd^y ^dyd^^^
cette formule subsiste, quelle que soit la variable indépendante.
De la normale principale en un point d'une courbe
gauche,
263. Considérons une courbe gauche AM et la courbe sphérique (X/x correspondante, construite comme nous l'avons indiqué [voir la figure du n® 261). Menons par le point u de cette dernière courbe la tangente /uiv, et,
S. — CiUc, diff, 35
par le point correspondant M de la courbe donnée, MN parallèle à /[jiv. La droite MN est dite la normale principale au point M de la courbe AM.
Soient Ç, rj, ^les angles formés avec les parties positives des axes coordonnés rectangulaires, par la direction MN ou /xv. Les coordonnées du point (jl étant cos a, cos 6, cos y, on aura (n° 260)
, , , i/cosa dcos^ ^ dcosy
(l) COSÇ= ; j C0Sî3=— -; 9 COSÇ= — -— ^ ,
^ ^ dtT dd dv
ou
eue djr dz
ds ds ds
[t.] cosÇ = R— ,— > cosîî = R— 7-> cosÇ = R •
^ ' ds ds ds
Si Ton prend Tare s pour variable indépendante, on pourra écrire
,, d^x I ^ rf*r ï d*z I
Du centre de courbure en un point d'une cow*be
gauche*
264. Soient M un point d'une courbe gauche AM, MT la tangente et MN la normale principale au point M.
Construisons le cercle de courbure dans le plan NMT, de manière qu'il soit tangent en M à la ligne MT, et qu'il soit, avec les points de la courbe AM infiniment voisins
