CHAPITRE rX

rentîelle constante. On aura, par la formule de Taylor,

d X ils

Ax =: tlx -h -. h R, = é/5 cos an ces Ç -4- Rs,

R3 étant un infiniment petit du troisième ordre ; on.aura aussi des expressions analogues pour ù^y^ Az, et, en substituant ces valeurs dans le premier membre de Téquation du plan, on obtiendra le résultat positif

lis* 2R

où e désigne un infiniment petit du troisième ordre. D'un autre côté, on obtient aussi un résultat positif H-R quand on substitue à X, Y, Z, dans l'équation du même plan, les coordonnées d'unpointquelconque du plan (2); donc les points de ce dernier plan et les points de la courbe infiniment voisins de M sont bien d'un même côté du plan mené par MT perpendiculaire à la normale principale.

D'après cela, si l'on désigne par Xi, j^i, Zi les coordonnées du centre de courbure C, on aura

(3) JTi-— .r= RCOSÇ, J^i— J = RC0Sïî, 2,— Z=::RC0SÇ,

et, en remplaçant cosÇ, cos>î, cosJ^ par leurs valeurs (n«263)

dx dr , dz

^. ds ^. ils ^, as

Expressions des cosinus des angles qui déterminent la direction de l'axe du cercle de courbure.

265. Désignons par ^, |ui, y les angles que forme avec les parties positives des axes coordonnés Tune ou l'autre des deux directions de l'axe du cercle de courbure. Cet

axe est perpendiculaire à la tangente et à la normale principale ; d'ailleurs ces deux dernières lignes sont rectangulaires; donc on aura entre les cosinus des neuf angles

«> 6, 7; Ç, iî, Ç; \y fA, »

les relations connues, savoir:

IC()S*a -+- COS'ê -4- C08*7 = cos' Ç -4- ces' n -h cos' Ç = cos' > -+- cos' fi -+■ ces' V =

cos* « -h cos' Ç -h ces* > =

cos* 6 H- ces' 13 -h cos'/x = cos* y -h ODS* Ç -f ces' v =r

cos a ces Ç H- cos ê ces ij 4- ces 7 cos Ç = o, cos a eos > -J- cos 6 cosp cos Ç cos > H- cos 13 cos /x

cos a cos 6 4- cos Ç cos ij cos a cos 7 4- cos Ç cos Ç cos 6 cos 7 -h cos m cos Ç 4- cosfx cosv = o;

cos "k =±( cos 6 cos Ç — cos 7 cos u ),

cos 7 cosv = o, cos Ç cos V = o ;

COS^COSfA =: o,

cos X cosv =0,

(COS7 cosÇ — cosacosÇjy (cos a cosu — cos € cos Ç ) ,

( cos /x cos 7 — cos V cos 6), ( cos V cos a — cos > cos 7 ), (cos > cos 6 — cos p cosa),

(cos ij cos V — cos Ç cos ft), ( cos Ç cos "k — cos Ç cos v), cos 7 := dr ( cosÇ cosf* — cos 13 cosX) ;

cos X ( cos 6 cos Ç — cos 7 cos u ) -f- cos ]:* ( cos 7 cos Ç — cos a cos Ç ) -♦- cos V ( cos a cos u — cos 6 cos Ç y = ± I;

cos fX rr: dl

cos V = liz

cosÇ=db cos 13 =± cosÇ=it:

cos 6 =