CHAPITRE IX

les signes supérieurs ou inférieurs doivent être pris ensemble dans les dix formules (5) et (6); les uns se rapportent à Tune des directions de Taxe du cercle de courbure, les autres à la direction opposée.

Nous avons donné dans les numéros précédents les expressions des cosinus des angles a, 6, y et Ç, m, f en fonction des coordonnées rectangulaires ; les trois premières des équations (5) permettent d'exprimer de la même manière les cosinus des angles X, [i^ v. Ainsi la première de ces équations (5) peut s'écrire comme il suit, sans fixer la variable indépendante :

on déduit de là, par des permutations de lettres, les valeurs de cos .a et cos >, et l'on a ce système de formules

, , I , ^ dzd^x — dx d^z [y ' cosfx=:±:R ,~ 9

cos V zir db R

dxd^y — dyd^x ~d^

Expression de la différence entre un arc de courbe

et sa corde.

266. On obtient une expression très-remarquable de la différence entre un arc de courbe et sa corde, en introduisant les rayons de courbure aux extrémités de l'arc. Je présenterai ici ce calcul, comme une application intéressante des résultats auxquels nous venons de parvenir.

Soient s un arc de courbe compté à partir d'une origine quelconque, eto:,^, z les coordonnées rectangulaires

39a CALCUL DIFFÉRENTIEL..

de l'extrémité de 5. Je prendrai cet arc pour variable indépendante; alors on aura, en désignant par R le rayon de courbure, à son extrémité,

On a, par la différentiation de l'équation (1),

,^. dx rf*.r dy d^y dz d^z

^ ' ds ds^ ds ds* ds ds*

en différentiant de nouveau et ayant égard à l'équation (12), il vient

... dx d^.T dy d^y dz d^z l

'"*' 'dû' lî^'^ ds H^ "^Js d? '^'^ h}^

puis la différentiation de l'équation (2) donne €nx d^x d^y d^r dU d^z i '^R*

ds^ ds^ ds* ds^ ds^ ds^ 1 ds '

enfin celle de l'équation (4) donne, en ayant égard à la formule (5),

g drd^ dy d'^y ^ dz d'^z 3 R'

^ ds ds^ ds ds^ * ds ds^ 2 €Ù

Cela posé, soient Aj:, Ay, Az les accroissements que prennent x, y, z, quand 5 croît de As, on aura, par la formule de Taylor,

Aj: dx d^.r Aj d*.r ^s* d^x A5* Js^d^'^IF 7'^"û^"6""^l?" 24"*"**'

C4 désignant un infiniment petit du quatrième ordre. En

CHÂVITRE IX. 393

élevant cette formule au carré, on a ensuite

A.r« fdxy (Lrd^x f l dr d* .t l///*.r\*

-K^^yds) -^d^-dF^-^

L3 ds f/5» 4 \ c^^* y J

/ I dr d^ I rfVr ^\ 3 [^2 ds H? '^ '6 'd?^ d^) ^^ "^ '**

C4 étantencore ici un infînimentpetit du quatrième ordre.

De cette valeur de — - on déduira celles de — - ^^ --;- en

écrivant^ et z au lieu de Xy et, si Ton ajoute les trois expressions, on aura, en faisant usage des formules précédentes,

Ax* -f- Ar' -I- Aï* I Aj' R* A5» ^

puis, en extrayant la racine carrée par la formule du binôme.

\/A.r*-f-A>*-4-Ag* I I I A.V*

Is "~ ' ~~ 2 V R* Ta

ou

v/A.r«-4- Ar'-f- As* ___ i Aj* R* Aj»

^') ^ -""Rî^""'"5r48 ^'*'

64 désignant toujours un infiniment petit du quatrième ordre. Cette dernière formule peut être écrite d'une autre manière. R est le rayon de courbure à l'extrémité de Tare 5, origine de l'arc ùs\ désignons par Ri le rayon de courbure à l'extrémité de Tare ùs, La différence des quantités

Rî R* R*

étant infiniment petite, si l'on substitue la première à la

seconde^ dans la formule [y), on ne fera que modifier l'infiniment petit du quatrième ordre 64 ; on a donc

multipliant enfin par As, il viendra

(8) ^ii^'Â^-A? = A* - (ij + ij^ ^ + ...

65 étant un infiniment petit du cinquième ordre»

La différence entre un arc infiniment petit Af et sa corde a donc pour valeur

à un infiniment petit près du cinquième ordre, R et R| étant les rayons de courbure aux extrémités de Aj.

Appliquons cette formule (8 ) au cas d'un arc de cercle de rayon i. Soit A; = aa, on aura

y^Ajr' -4- Aj* + As = 2sina, et la formule (8) donnera

siiia-.= a — TT D

De l'ordre du contact d'une courbe et d'une surface, — Des surfaces osculatrices en un point d'une courbe donnée,

267. Soient S une surface quelconque, AM une courbe passant par un point M de S et KL la normale en M à cette surface. Prenons sur la courbe un point M' infiniment voisin de M, et dont la distance à la normale KL sera choisie pour infiniment petit principal; menons enfin la droite M'm parallèle à KL et qui rencontre en m la sur-