CHAPITRE IX* 39S

face S. Cela posé, si la longueur M'm est un infiniment petit de Tordre /r-hi, je dirai qu'il y a au point M un contact d'ordre h entre la courbe et la surface.

Pour que Tordre du contact ne soit pas nul, ou, ce qui revient au même, pour qu'il y ait efiectivement contact entre la courbe et la surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe au point M soit située dans le plan , tangent de la surface. Efiectivement, désignons para:, yj z les coordonnées du pointM relativement à trois axes rectangulaires; par x-^rù^^y-^b^y, z -H-Ar celles du point M', et par x -h ^'x^y-^ùk'y, z-^ù!z celles du point m ; représentons, en outre, par y l'angle que forme, avec l'axe des z, la tangente en M à la courbe, et par dz =pdx -+- qdy la valeur de dz qui convient à la surface S; on aura pour cette surface

^'zz=ip^!x-{- qà!y -4- t', et, pour la courbe,

Az =r /fa 4- I = ri!f COS7 -I- ffy

e et fi' étant des infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Maintenant, si l'on fait coïncider l'axe des z avec la normale KL, on aurap r= o, 9 = o ; par conséquent ùiz ou Pm sera un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. D'ailleurs M! m est Isl somme ou la difi'érence des lignes M'P=: A^ et Pm; donc, pour que l'ordre infinitésimal de M'm soit supérieur à i , il est nécessaire et suf-

SyÔ CALCt3L DIFFÉRENTIEL.

fisant que cosy soit nul, ou que la tangente en M à la courbe soit dans le plan tangent de la surface.

Etant donnée une courbe C, si l'on considère une famille de surfaces représentée par une équation où figurent /iH-i paramètres arbitraires, on pourra en général déterminer ces /i-hi paramètres de manière à établir, en un point donné de la courbe C, un contact de l'ordre /i. La surface déterminée ainsi est dite osculatrice de la courbe C, au point donné, relativement aux surfaces de la même famille qui passent par le même point. Nous allons traiter, dans ce qui va suivre, du plan osculateur et de la sphère osculatrice.

Du plan osculateur en un point d^une courbe

donnée,

268. Soient x^y, z les coordonnées d'un point M d'une courbe rapportée à trois axes rectangulaires. Comme Téquation du plan ne renferme que trois paramètres arbitraires, le plan osculateur de la courbe au point donné est celui qui a un contact du deuxième ordre en ce point av^ec la courbe, 11 est à peine nécessaire d'ajouter que, pour certains points particuliers, Tordre du contact peut être supérieur à a.

Soit

flX -f t Y -f- cZ — /E? — G

l'équation d'un plan S; nous désignons par a, i, c les