CHAPITRE IX

cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la perpendiculaire p abaissée de l'origine des coordonnées sur ce plan. Soit d la distance M'P du point M'(x -H àx^ y -h ^j^ z -H A?) de la courbe au plan S ; on aura

et il nous faut déterminer les constantes a, hj c, p, parmi lesquelles trois seulement sont arbitraires, de manière que J soit un infiniment petit du troisième ordre; Tinfiniment petit principal est la distance de M' à la normale KL du plan, ou tout autre infiniment petit dont le rapport à cette distance a une limite finie. On a, par la formule de Taylor, quelle que soit la variable indépendante,

(i^z ^z=zdz H hRrt

R3, R',, R' étant des infiniment petits du troisième ordre. En substituant ces valeurs dans l'expression de ±:(î, on a

±$ z::z [ax -\- by -^ cz — p] -\- [adx-hbciy-^cdz]

■4- - [ad*x -4- bd^y -+- cd^z] -h (aR, -h bK\ -\- cR\V

et pour que cette expression soit un infiniment petit du troisième ordre au moins, il faut et il suffit que Ton ait

Iax -^ by -\' cz — pz=zçi^ adx -h bdy -h cdz =: o, ad^x -H bd^y -h cd*z = o.

La première de ces équations exprime que le plan S

passe parle point M; elle détermine /? quand a^ b, c sont connus ; les deux autres équations donnent

^ dj'd*z — dzd*jr dzd^x — dxd*z dxd^jr — dyd^x

Les dénominateurs des rapports qui figurent dans la formule (2) sont proportionnels aux cosinus des angles X,|ol, v, formés avec les directions positives des axes, par Tune ou Tautre des directions de Taxe du cercle de courbure (n^265); on a donc

a = COS)^, ^ = COSfx, c = cosv;

et par conséquent le plan osculateur n'est autre chose que le plan du cercle de courbure, c'est-à-dire le plan mené par la tangente et par la normale principale. Dans le cas d'une courbe plane, le plan osculateur est celui de la courbe.

269. Si les constantes a, b, c, p satisfont seulement aux deux premières conditions (1), le plan S aura au point M, avec la courbe, un contact du premier ordre ; il sera simplement tangent, et il restera dans son équation un paramètre indéterminé. Nous indiquerons ici deux propositions qu'il convient de remarquer :

Théorème I. — Le plan osculateur en un point M d'une courbe est la limite vers laquelle tend le plan mené par la tangente en M et par un point M' de la courbe infiniment voisin de M.

Tant que le plan dont il s'agit n'a pas atteint sa limite, il a en M avec la courbe un simple contact du premier ordre. Son équation est

et l'on a, par hypothèse,

(a) ado: -h bdjr -\- cdz = o\