CHAPITRE IX
en outre, comme le plan passe parle point M' de la courbe pour lequel les coordonnées sont x H- ÛJtr, y -h Aj', z H- A^y on a aussi
(3) ûA^c H- ^At" -i- cAz = 0.
Désignons par t la variable indépendante, on aura, par la formule de Taylor,
dr d^x A/* . ,
Lx=z -- Ar H- -— h A A^',
dt dt* 1.2,
dr d^r Af' .
Ajrr: -f A/H- --4 hBAf»,
'^ dt dt* 1.2,
dz d^z Ar» ^ .
Az-= -r- àt-h -rr ^ CA/«,
€it dt* 1,2
en désignant par AAt^y ... les restes des trois séries. Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (3), qu'on réduise ensuite par le moyen de l'équation (2) et qu'on divise par At^y il viendra
passant à la limite, At devient nul, et l'on a
(4) ad^je-h bd*jr -^ cd*z = o.
Les valeurs de a, b, c tirées des formules (a) et (4) sont bien celles qui conviennent au plan osculateur.
Remarque. — Les coordonnées Xf y^ z ont été supposées rectangulaires au n^ 268 ; mais on voit, par le théorème précédent, que l'équation du plan osculateur conserve la même forme quand les coordonnées sont obliques.
270. Théorème IL — Le plan osculateur en un point M d'une courbe est la limite vers laquelle tend le
plan mené par le point M et par deux autres points M', M" de la courbe, infiniment ^voisins de M.
Appelons t la variable à Taide de laquelle sont exprimées les trois coordonnées x, y^ z des points de la courbe, et soit
Représentons par <, « -h A|, ^ -4- Aa les valeurs de la variable qui correspondent aux points M, M', M'^' Dans Téquation générale du plan
aX -f- ^ Y H- cZ — p^=o^
remplaçons X, Y, Z respectivement par y(f), ^{t), 7r(f), et désignons par F(t) la fonction
ay(r) -h ^Tp(r) -t-c7r(/) — p.
Les relations qui expriment que le plan comprend les trois points M, M', M" sont
Si Ton fait tendre vers zéro, d'une façon arbitraire, les deux quantités /ij et h^, le système ( n^ 58) se réduit à
On a donc, pour déterminer les rapports des quantités a, i, c, Pj à Tune d'entre elles, les relations
ax -^ by -\-cz — /? = o,
adx -^ bdjr -\- cdz=zQ^
ad^x 4- bd^y -4- cd^z =z o.
Les deux dernières donnent les rapports des quantités a, b, c qui conviennent au plan osculateur.
