CHAPITRE IX

Rbmauque. — On définit quelquefois le plan osculateur par Tune des deux propriétés qui font l'objet des précédents théorèmes. La normale principale peut alors ôtre définie en disant qu'elle est l'intersection du plan normal et du plan osculateur.

De la torsion ou seconde courbure des courbes gauches,

271 . Les déviations successives de la tangente dans le passage d'un point d'un arc de courbe à un autre nous ont conduit à la notion de la courbure. Mais, dans le cas des courbes gauches, il y a lieu de considérer une affection d'une autre nature à laquelle on a donné le nom de torsion ou de seconde courbure, et de là vient la dénomination de courbe à double courbure, appliquée aux courbes gauches. La torsion d'un arc de courbe résulte des déviations successives du plan osculateur ou de l'axe de ce plan, dans le passage d'une extrémité de l'arc à l'autre extrémité; pour la définir avec précision, nous emploierons les considérations qui nous ont déjà servi quand nous nous sommes occupé de la première courbure.

Soient AM un arc de courbe, MT la direction de la tangente en M, M N celle de la normale principale et ML Tune ou l'autre des deux directions de la perpendiculaire au plan osculateur; la direction de la tangente en chaque point de l'arc ÂM est déterminée ici comme on l'a indiqué au n" 261 . Construisons une sphère ayant pour centre un point quelconque O et dont le rayon soit égal à l'unité de longueur. Si l'on mène des rayons parallèles aux directions des tangentes aux divers points de l'arc AM, les extrémités de ces rayons détermineront sur la sphère (n^' 261 ) la courbe afA, dont la longueur mesure la première

S. — Cale, dijf. 36

4oa GALCTTL DirFÉHBHTIKL.

courbure de l'arc ÂM . Cela posé, menons par le centre O de la même sphère des diamètres parallèles aux axes des plans osculateurs relatifs jaux divers points de Tare AM :

les extrémités de ces diamètres détermineront sur la sphère deux arcs de courbe symétriques. Soit am l'un de ces arcs, la longueur t de Tare am sera dite la torsion ou la seconde courbure de Tare AM.

Si l'extrémité A de l'arc AM = s est fixe et que l'extrémité M soit mobile y la courbure r sera une variable; sa différentielle dx est dite V angle de torsion au point M, ou V angle de contingence relatif à la seconde courbure.

Soient MM'= ûkS un accroissement infiniment petit de l'arc s^j l'angle que fait l'axe du plan osculateur en M' avec l'axe du plan osculateur en M ; les extrémités des rayons Om, Om'parallèles à ces deux axes détermineront sur la courbe sphérique l'arc Ar qui, par notre définition, est la torsion de Tare MM\ Par le raisonnement déjà employé (n** 261 ) à l'occasion de la première courbure, on prouvera que l'on a

c'est-à-dire que le rapport de l'angle des plans osculateurs relatifs aux extrémités d'un arc infiniment petit, à la torsion de cet arc, a pour limite l'unité.

La torsion moyenne d'un arc de courbe est le rapport

CBlPITItE IX. 4o3

de la torsion absolae à la longueur de Tare. Enfin nous

appellerons torsion ou seconde courbure en un point

d'une courbe, la limite "vers laquelle tend la torsion

moyenne d'un arc infiniment petit de la courbe, ayant

ce point pour origine.

D'après cela, la torsion au point M de la courbe AM

aura pour valeur

,. At dr

lim — ou -r--