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On peut encore assimiler cette seconde courbure à la courbure d*un cercle, et Ton nomme rayon de torsion ou rayon de seconde courbure le rayon du cercle dont la courbure en chaque point est égale à la torsion de la courbe donnée au point que Ton considère. Si Ton désigne par T le rayon de la seconde courbure, on aura

la difTérentielle ^r a le même signe que ds.

272. La courbe AM étant rapportée à trois axes rectangulaires, supposons, comme au n^ 262, que Ton ait placé le centre O de la sphère à Forigine des coordonnées. Désignons toujours par j:,j^, z les coordonnées du point M et par A, p, v les angles que fait avec les parties positives des axes Tune des directions ML ou O m de Taxe du plan osculateur; les coordonnées du point m seront

COS>, C0S|bi, cosv,

et, par conséquent, la différentielle dx de Tare r aura pour valeur

rfr = ^(</co8))'-h (£/cosf*)*-t- (rfcosv)';

les cosinus des angles 1, p, y sont connus (n'' 26o) en

4o4 CALCUL OIFFÉREUTIEL.

fonction des coordonnées : on peut donc calculer dT, et par suite le rayon T, en fonction des mêmes coordonnées; nous ferons ce calcul plus loin.

273. J'établirai ici une proposition que j*ai fait connaître depuis longtemps et qui a une grande importance dans Tétude des propriétés des courbes ; cette proposition consiste simplement en ce que les tangentes aux points correspondants m et fx des deux courbes sphériques que nous avons introduites sont parallèles.

On a, en conservant les notations dont nous avons fait usage dans les numéros précédents,

Îcosoté/cosa H- c()s6£/cos6 -4- cosyrfcosv = o, cos'kdcosoL -h cosfAé/cosS -f- cosvi/cosy =^ o;

effectivement, rfcosa, rfcosS, dcosy étant proportionnelles à cosÇ, cosïî, cos(^, les formules (i) expriment la perpendicularité de la normale principale sur la tangente et sur Taxe du plan osculateur. En ayant égard à la seconde des équations (i) et en différentiant les suivantes :

cosa cos). -*- cos6 cosfi •+• cosy cosv = o,

cos*> 4- COS'fX H- cos'v = I,

on trouve

Îcosoe^cos^ -+- cos^^cosfx -f- cosy^/cosv =o, cos></cosX-f- cositdcosy. -t- cosv rf cosv =o.

Or les coefficients des différentielles

(3) ^cosoe, ^cos6, acos7,

dans les équations (i), sont exactement les mêmes que les coefficients des différentielles

[^) ^cosX, £^casfA, £/cosv