CHAPITRE IX
dans les équations (a); donc les différentielles (4) sont proportionnelles aux différentielles (3), et Ton a
.^. dcns'k rfcosfx c^cosv
^ ' dcosoL ^cosê ûfeosy
Ces formules démontrent la propriété énoncée : effectivement les cosinus des angles que fait avec les axes la tangente en m à la seconde courbe sphérique sont proportionnels aux différentielles des coordonnées, c'est-àdire aux différentielles (4); de même, les cosinus des angles que fait la tangente en /x à la première courbe sphérique sont proportionnels aux différentielles ( 3 ) ; il en résulte que ces deux tangentes sont bien parallèles.
Mais, en prenant les points a et a pour origines des arcs des courbes sphériques, les directions des tangentes aux points correspondants peuvent coïncider ou être opposées. La courbe sphérique relative aux axes des plans osculateurs se compose, d'après notre construction, de deux parties symétriques qui répondent aux directions opposées de ces axes ; donc, selon que Ton prendra Tune ou Tautre de ces parties pour la courbe am, les directions des tangentes en m et /ix seront de même sens ou opposées. Je supposerai que l'on ait construit la courbe am de manière que les tangentes en /ix et m aient la même direction, direction qui est celle de la normale principale au point M de la courbe donnée. Alors, à cause des équations (a) du n** 260, la précédente formule donnera
dcosy. = cosÇ^/t, (6) < dcosfi:= cosndT,
dcosy ==cosC^T.
4o6 CALCUL DIFFÉRBlfTIEL.
Résumé et complément des formules principales relatives à la théorie des courbes gauches.
274: Je crois devoir résumer ici les résultats divers que nous avons obtenus dans les numéros précédents. Rappelons que nous désignons par
Xy y y z les coordonnées rectangulaires ;
a, 6, y les angles formés par la direction de la tangente avec les directions positives des axes ;
Ç, yj, (* les angles formés parla direction de la normale principale avec les mêmes directions ;
X, |x, V les angles formés également avec les mêmes directions par la direction de Taxe du plan osculateur ;
dsj d(Sy dr la différentielle de l'arc de la courbe donnée, Tangle de contingence et l'angle de torsion.
Alors on a
(i) dx=zdâ coso, dy =zds cos6, dz = ds cosy,
(a) ^cosa = cosÇ^o-, dcos^ = cosndfr^ dco^y =r- cosC^o^
(3) dC0S\ = COSÇ^T, dcOSlt = COSKJ^T, ^cosv = cosÇ^/t,
pourvu que la direction de l'axe du plan osculatcur soit déterminée^ comme on l'a indiqué au numéro précédent. Cela posé, si l'on différentie l'équation
C08*{ =: I ^ COS* a — C0S*X,
on aura
cosÇ^f cosÇ = — cosa</cosa — cosXrfcosX,
ce qui devient, en faisant usage des formules (2) et (3),
^cosS = — cosadfT — cosX^t;
cette formule en donne deux autres, par les permutations
GHAPmiB IX. 4^7
des lettres, et Ton a ce nouveau système de formules :
Idcosl = — cosad(T — cos^/fr, dcOSr, := — COs6//(J — COSfX^T, âf cos( = — cosy dfT — cosv dr.
Les formules (a), (3), (4) permettent d'exprimer, dans les recherches relatives à la théorie des courbes, les différentielles des neuf cosinus, cos«, . . . , en fonction de ces mêmes cosinus et des différentielles des trois arcs s, c;, t. On a d'ailleurs
(5) dszz^T{d(T = TdT.
On tire des formules (4)
)/{dcost)*-^{dcosn)*-h (</cosÇ)'i= v^rfa» h- r/r';
cette expression est celle de la différentielle de l'arc d'une troisième courbe sphérique que l'on formerait en menant par le centre d'une sphère des rayons parallèles aux directions des normales principales de la courbe proposée.
275. Pour donner un exemple des avantages que procure l'emploi des formules précédentes, je les appliquerai à la recherche du rayon de torsion T en fonction des coordonnées rectangulaires. A cet effet, reprenons les équations (7) du n® 265, savoir
ds^
,—- cos> z=z±: (drd^z --dzd^jru
ds^
— co^iLz=z± [dzd^x —■ dxd^z)^
ds*
— cosv =zzt: [dxd^y — d/d^x),
Différentiant ces équations et ayant égard aux for-
4o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
mules (3) et (5) du numéro précédent, on trouvera ^-^J cos> -f- — co^l z=±[dxd^z —dzd^x).
RT
ds^ \ ds^
cosv ■+- ^ cosÇ =dz [dxd*x — dj^d^x); Ri
et si l'on ajoute ces trois équations, après les avoir multipliées respectivement par les trois suivantes :
--— cosÇ = a'x a.r,
R ds
ds* d*s
-—- C0S13 — d^jr df^
li. • as
ds* d^s
---- cosÇ = d^z — - dzn
R ds
il viendra
ds^ :^^ =±:[{dyd*z -^ €izd^jr)d*j: -^ {dzd'^x ^ dxd^ z)d*y
ou, en remplaçant — j- par la valeur tirée de la formule (4) du n« 262,
La valeur de T étant essentiellement positive, la formule précédente fait connaître le signe qu'il faut substituer dans les formules (5), (6) et (7) du n** 265, au signe ambigu ± ; on doit se rappeler que la direction de l'axe du plan osculateur a été fixée par la convention adoptée au n*»273. Il convient de remarquer que le rayon de torsion s'exprime par une fonction rationnelle des différentielles des coordonnées.
276. Si l'on égale à zéro le dénominateur de l'expression de T, on obtiendra la condition qui exprime qu'une courbe est plane. Lorsqu'on prend x pour variable indépendante et que l'on fait en conséquence d^x^=Oy d^x-=>Of la condition dont il s'agit est simplement
d^jrd^z — d^yd^z = O.
Cotte équation peut se mettre sous la forme
d^z elle exprime donc que le rapport -^ est égal à une
j constante 6; ainsi l'on a
en sorte que dz et Brf;^ ne diffèrent que par une constante Kdx\ on a donc
dz = kdx -*- Bdy^
et l'on en conclut
8rrr Aa:-hB.r-4-C,
C étant une nouvelle constante. Cette dernière équation représente un plan dans lequel la courbe est située.
De la sphère osculatrice en un point d'une courbe
donnée.
277. L'équation de la sphère renferme quatre paramètres arbitraires, les coordonnées du centre et le rayon ; on peut donc en chaque point d'une courbe établir un contact du troisième ordre entre cette courbe et une sphère ; celle-ci sera la sphère osculatrice.
Soit M un point de la courbe donnée ; faisons passer par ce point une sphère dont nous représenterons le
4io
centre par O. Prenons sur la courbe un point M' infiniment voisin du point M, et considérons le plan qui passe par le poiut M' et par le rayon MO; ce plan coupe la
sphère suivant un grand cercle, et le plan tangent en M à la sphère suivant la ligne MH tangente au grand cercle. Abaissons M'P perpendiculaire sur MH, 'et désignons par m le point où cette perpendiculaire rencontre la circonférence du cercle. D'après la définition générale du n^ 267, la sphère O sera osculatrice au point M de la courbe donnée, si la ligne M'm est un infiniment petit du quatrième ordre, Finfiniment petit principal étant la ligne MF ou tout autre infiniment petit dont le rapport à MP tend vers une limite finie. On a
M'm = M'P — mP,
et mP=— -TTrCst un infiniment petit du deuxième
ordre; donc il faut déjà que M'P soit elle-même un infiniment petit du deuxième ordre, ce qui s'accorde avec ce qu'on a dit au n^'SG?. Désignons par r le rayon de la sphère, par s l'arc de la courbe terminé en M et compté à partir d'une origine quelconque, par As l'arc MM' de la même courbe. On aura
^ M/it mP= -
MP*4-mp'
ou
toP =
— ^ (^^ — MM')(Aif-f-M>r)-hM^P — mP ^
ar
ar
CHAPITKE IX. 4^1
or la difTérence entre l'arc A5 et sa corde est un infi-
niment petit du troisième ordre (n^ 266) ; M'P et mP sont des infiniment petits du quatrième ordre; donc la différence des deux quantités
est un infiniment petit du quatrième ordre. Par conséquent, la sphère osculatrice est telle que
est un infiniment petit du quatrième ordre.
Désignons par oto, y^y Zo les coordonnées du centre de la sphère osculatrice relatives à trois axes rectangulaires ; par Xy 7, z les coordonnées du point M; par x -f- ûjc, j -i- ùy, z -^ ^z celles du point W. L'équation de la sphère sera
et celle du plan tangent en M,
Le centre de la sphère et le point M' étant situés d'un même côté du plan tangent, on obtiendra des résultats de même signe si l'on remplace X, Y, X, dans l'équation précédente, par les coordonnées de l'un et de l'autre point. Or la substitution des coordonnées du centre donne le résultat — r* ; donc la substitution des coordonnées du point M' donnera un résultat négatif. D'après cela, la distance M'P du point M' au plan tangent sera
M^P— (^o"-^)^^"*- (ro— r)Ar -i-fgo — gjAg
et, par conséquent, on aura M'PXr— i A*«
telle est l'expression de la quantité qui doit se réduire à
un infiniment petit du quatrième ordre.
On a
tLCZ=:dx -\ 1 ^ h . . . ,
d^z d*z àz z=dz -i 1 — 7j h . . . ,
et
às = ds'\ h . . . ,
d*où, par l'élévation au carré,
às^z= ds* -j- dsd^s -h . . ».
Pour remplir Tobjet demandé, il suffit de substituer ces valeurs de ùx, Ay, A^, As^ dans l'expression précédente et d'égaler ensuite à zéro la somme des termes infiniment petits du premier ordre, la somme des termes du deuxième ordre, et enfin celle des termes du troisième ordre. On obtient ainsi les équations
1{x^ — x)dx -\-[Xo—x)dx -\-[z9'-z)dz =o, [xo — x)rf*j?-+- I/o— r)^'r-»-(2o— t)d^z^ds*=zo, Uo — ar)J»x-}-(7o--r)^*7-i-(^o — «)^'« — 3<£yrf'5=:0,
qui détermineront ]es coordonnées Xo,^09 ^o ^^ centre de la sphère osculatrice. Le rayon r sera donné ensuite
chapithe IX. 4>3
par réquatîon
II faut remarquer que la première des équations (i) s'obtient en difTérentiant Téquation (2), dans Thypothèse de Xo, jToj -^oj ^ constantes; pareillement, on obtient les deux dernières équations (1) en différentiant deux fois de suite la première, dans la même hypothèse.
278. D'après cette remarque, lés équations (1) et (2) peuvent être représentées, pour abréger, par
V=o, rfV = o, rf«V=o, rf»V = o.
Si les trois premières sont seules satisfaites, la sphère n'aura avec la courbe qu'un contact du deuxième ordre, et il restera une constante arbitraire dans son équation. Si les deux premières équations sont seules satisfaites, la sphère n'aura qu'un simple contact du premier ordre avec la courbe, mais il restera deux arbitraires dans son équation; enfin, quand la première condition est seule satisfaite, il n'y a plus de contact au point commun, et il reste trois arbitraires dans l'équation de la sphère.
Dans chacun de ces cas, on peut assujettir la sphère à passer par un point M[x -h Ar, y -h ZV^, z -h ^) de la courbe, ce qui donne la condition
