CHAPITRE IX. 4>S
quelle tend le point d'intersection de l'axe du cercle de courbure e/z M , et du plan normal en un autre point de la courbe infiniment ^voisin de M. Ce centre est aussi la limite du point d'intersection du plan normal en M et des plans normaux en deux autres points de la courbe infiniment voisins de M.
En effet, quand on considère Xo^^o^ ^o comme des coordonnées variables dans les équations (i) du n° 277, la première équation est précisément celle du plan normal en M, et le système des deux premières appartient (n^ 264) à Taxe du cercle de courbure. Représentons par
ces deux équations, lé plan normal en un point infiniment voisin de M aura pour équation
V H- AV =: o,
et, en la joi^ant aux deux précédentes, on aura le système qui convient au point d'intersection. Mais, par le raisonnement déjà employé plus haut, cette dernière équation se réduit, au moyen des précédentes, à
t étant la seule variable indépendante, et e une quantité qui s^annule avec At; en outre, elle devient --r^ = o, ou
quand Af s'annule. De là résulte la première partie du théorème énoncé.
La deuxième partie se démontre par un raisonnement analogue à celui du numéro précédent.
4l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Expression des coordonnées du centre et du rayon de la sphère osculatrice en un point d'une courbe.
28i . D'après l'analyse précédente, les coordonnées du centre de la sphère osculatrice sont déterminées par l'équation du plan normal jointe à celle qu'on en déduit par deux difTérentiations relatives à la variable indépendante dont les coordonnées de la courbe sont fonction. Or, avant d'exécuter l'une de ces difTérentiations, on peut multiplier l'équation qu'il s'agit de différentier par une fonction quelconque des coordonnées; car, si l'on représente cette équation par V = o, et qu'on la remplace parMV = o, on obtiendra, par la différentiation, VrfMH-MfA^ = o, qui sera équivalente à rfV=o, à cause de V==o. Cela posé, en conservant les notations dont nous avons constamment fait usage, et dont nous avons présenté le résumé au n^ 274, l'équation du plan normal sera
(i) (^0— j:)cos«-4-(/o-~r)cos6-f-(zo — «)cos7=:o;
en difTérentiant dans l'hypothèse de x^y y^, z^ constantes et employant pour cet objet les formules (a) et (5) du n° 274, on obtient
(2) (aro— a:)cosÇ-|-(j^o — r)cosi3-l-[zo— z)cosÇ=:R;
difTérentiant de nouveau, au moyen des formules (3) et (5) du n® 274, il vient, en ayant égard à l'équation (i),
(3) (j*o — J?)cosX-|-(^o — ^)cosfA-t-(3o — z)cosv = !— •
as
Ajoutons maintenant les équations (i), (a), (3) après les avoir multipliées respectivement d'abord par cosa, cosÇ, cosX, puis par cosS, cosnj, cos^a, puis enfin par
ghapithe ne. 4^7
COS7, cos^y cosVy il viendra
Xq — X=R cos Ç COS A,
as
(4) ^ ^0 — r = R cos 10 ^ COSft,
«0 — « = R cos ( 3^ cos v;
as
en outre, si Ton ajoute les équations (4) après les avoir élevées au carré, on aura cette expression simple du carré r' du rayon de la sphère osculatrice,
Le centre de la sphère osculatrice est situé sur l'axe du cercle de courbure et Téquation (3) montre que sa distance au plan de ce cercle est égale à la valeur absolue
de -^— » ou, d'après l'équation (5), égale à ^r^ — K^; il
résulte de là que :
Le cercle de courbure en un point d'une courbe est l'intersection du plan osculateur et de la sphère osculatrice relatifs au même point,
282. Cette propriété entraîne une conséquence que nous devons signaler. La sphère osculatrice en un point M d'une courbe C est la limite des sphères qui passent par M et par trois autres points M', M", M"'' de la courbe C infiniment voisins de M ; pareillement le plan osculateur est la limite des plans qui passent par M et par les deux points M', M'"'. Il résulte de là que le cercle de courbure est la limite des cercles qui passent par le point M et par deux autres points M', M'' infiniment voisins dé M. Cela posé, projetons la courbe et le cercle sur un plan quelconque, et soient m, ml^ ml' les projections de M, M',
S. — Cale, diff, 37
4l8 CALCUL DIFFÉBENTIEL.
M^; ]e cercle se projettera suivant une ellipse qui aura un contact du deuxième ordre en m avec la projection de la courbe C, car elle est la limite d'une ellipse passant par M et par deux points infiniment voisins dem (n^SlS). En particulier, si Ton projette la courbe C sur le plan du cercle de courbure en M, la projection obtenue aura ce même cercle pour cercle de courbure en M.
Des surfaces enveloppes.
283. Désignons pary*(:r, j-, z, a) une fonction des quatre variables x^ y, z, a dont la valeur soit bien déterminée quand on a fixé les valeurs de x,j-f z, a. Si Ton suppose que x, ^, z représentent des coordonnées quelconques et que a soit un paramètre variable, Téquation
(i) /(•«, Jt «, a)=o
représentera une famille de surfaces; à chaque valeur de a répondra une surface individuelle.
Si, après avoir donné à a une valeur déterminée, on attribue à ce paramètre la nouvelle valeur a -h Aa, on aura une deuxième surface ayant pour équation
/(^f y> «» a-î- Aa)=o,
et qui coupera la première suivant une certaine courbe. On peut prendra pour la deuxième équation de cette courbe
/(.r, y, z, a -f- Aa) —/(.r, y, z, a) ii =°'
au lieu dé la précédente.
Maintenant, si Ton fait tendre ^ct vers zéro, rînlersection dont nous venons de parler tendra vers une cer-
GHÀPITRB IX. 419
taine limite, pour laquelle on aura, outre Téquation (i),
et il y aura sur chacune des surfaces représentées par. Téquation (i) une courbe déterminée de cette manière. Le lieu géométrique de toutes ces courbes est une surface dont l'équation s'obtiendra par l'élimination de a entre les équations ( i ) et ( 2 ) ; cette surface est dite Y enveloppe Aes surfaces que représente l'équation (i), et celles-ci, à leur tour, ont reçu le nom d! enveloppées. La courbe variable représentée par les équations (i) et (2), et dont l'enveloppe est le lieu géométrique, a été nommée par Monge la caractéristique de l'enveloppe.
284. Théorème L — L'enveloppe est tangente à l'enveloppée en chaque point de la caractéristique.
En effet, soitM(x,j^, z) l'un des points communs à l'enveloppe et à l'enveloppée ; pour établir que l'enveloppée et l'enveloppe ont le même plan tangent en M, il sufGt de montrer que, si l'on prend x ely pour variables indépendantes, la valeur de la différentielle totale dz sera la même au point M, pour l'enveloppée et pour l'enveloppe.
L'enveloppée étant représentée par l'équation ( i ), où « a une valeur déterminée, la valeur de dz relative à cette surface est donnée par l'équation
que l'on obtient en différentiant l'équation (i) dans l'hypothèse de a constante.
L'équation (i) peut aussi être prise pour celle de l'enveloppe, pourvu qu'on regarde a non plus comme une
4^0 CALCUL DIFFÉRElfTIBL.
constante, mais comme une fonction de Xj y^ z définie par Téquation ( a ). Alors, pour avoir la valeur de dz qui convient à l'enveloppe, il faut différentier Téquation (i), dans rhypothèse de a variable. Il vient ainsi
(4) . fa.+ %dy+^4d.+ %da = o;
^^' dx dy oz doL
mais la dérivée partielle ~ étant nulle, d'après l'équation (2), notre équation [^) se réduit à l'équation (3), la valeur de a devant être ici tirée de l'équation (2). Comme cette valeur, pour les points communs à l'enveloppe et à l'enveloppée, est précisément celle qui convient à l'enveloppée, l'équation ( 3 ) donnera pour l'une et l'autre surface la même valeur de dz, ce qui démontre le théorème énoncé.
S85. Considérons trois enveloppées répondant aux valeurs
du paramètre. Ces trois enveloppées se couperont en certains points m, nil, ..., dont les coordonnées sont déterminées par les équations
Lorsque h^ et Aj tendent vers zéro, ce système se réduit à
(6) /(ar,r,«,«) = o, -^^ =0, -^- ^=0.
Il est facile de voir que ces points M, M', ... sont aussi les limites vers lesquelles tendent les points d'intersection de la caractéristique
/(or, jr, z, a} = o, -^^ '- = G
CHÀPITEB IX. 4^1
et de l'enveloppée
lorsque Ton fait tendre Aa vers zéro.
Il y a ainsi sur chaque caractéristique un ou plusieurs points, tels que M, M', ..., et le lieu de tous ces points forme une courbe dont les équations s'obtiendront par Télimination de a entre les équations (6) ; Monge lui a donné le nom à! arête de rebroussement de Tenveloppe.
286. Théorème II. — Toutes les caractéristiques sont tangentes à V arête de rebroussement.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver qu'en chaque point commun à la caractéristique et à l'arête de rebroussement, les valeurs de dy et de dz sont les mêmes pour les deux courbes, x étant prise pour variable indépendante.
Représentons, pour abréger, par /',y^ les dérivées -^t -r^» les équations de la caractéristique seront
(7) /(^iri*»a)=0, /'(«, j, 3, a) = 0,
et, en diSérentiant dans Fhypothèse de a constante, on aura les équations
(8) /^' ôr'' ôz
àx oj dz
qui détermineront rfy etd^en chaque point de la courbe.
Les équations (7) peuvent aussi être prises pour celles
de Taréte de rebroussement, à la condition que a y désigne
4^^ CALCUL DIFFÉREITTIEL.
la fonction de x, j^, z déterminée par réquation
Mais, en différentiant les équations (7) dans cette nouvelle hypothèse, on obtient toujours les mêmes équations (8), car les termes -^ day -r- doL ou f'doiy f^da,
qu'introduit la variation de a, sont nuls par les conditions de la question. Comme a a d'ailleurs la même valeur pour les points communs à la caractéristique et à Faréte, les équations (8) donneront, pour les deux courbes, les mêmes valeurs de dy et de dz ; en conséquence ces courbes sont tangentes.
» Des surfaces désfcloppables.
287. Nous appellerons surface déifeloppahle toute surface qui est l'enveloppe d'un plan mobile.
Soient a, &, Cy p des fonctions données d'un paramètre variable et a , i', dj pf leurs dérivées ; l'équation d'un plan mobile sera
(1) ax-^by -h c% — p = o;
et celle de l'enveloppe s'obtiendra par l'élimination du paramètre entre l'équation (i) et la suivante :
enfin les équations (i) et (a) appartiendront à la caractéristique. Cette caractéristique est ici une ligne droite et, comme elle est tangente à l'arête de rebroussement de l'enveloppe, on voit qu'une surface développable est le lieu géométrique des tangentes d 'une courbe gauche. L'arête de rebroussement de la surface développable
