CHAPITRE IX
peut se réduire à un point ; cela arrivera si les fonctions ajbjCyp du paramètre sont liées entre elles par Téquation
(3) aaro-h by^^-^- cz^^-p — o,
•^o> J'oy ^0 étant des constantes. Dans ce cas, les équa* tions (i) et (a) se réduisent à
et la surface développable est un cône qui a pour sommet le point dont les coordonnées sont Xq, j^o» ^o* Enfin, si l'on pose
ntj n étant des constantes, et que l'on fasse tendre z^ vers l'infini, l'équation ( 3) se réduira à
Si les fonctions a, i, c satisfont à cette relation (5), les équations (i) et (3) pourront être mises sous la forme
^ ' I a'(* — ma) +6'(7- — /iz)— />'=ro,
et elles appartiendront alors à une surface cylindrique. Ici l'arête de rebroussement se réduit à un point situé à l'infini.
288. Le plan mobile enveloppé par une surface développable n'est autre chose que le plan osculateur de l'arête de rebroussement de la surface. En effet, désigQons par x, j^, z les coordonnées d'un point de l'arête, et soient al', i", c", pP les deuxièmes dérivées des fonc-
4^4 CALCUL DIFFÉEENTIEL.
lions a, b^ Cy p; on aura
ax ~h bjr '\- cz — p = o, a'x H- b'x -^ c' z — p' = Of a^x -+- by 4- c^z — ./?"= G;
toutes les quantités qui figurent dans ces formules sont fonctions du même paramètre ; nous prendrons ce paramètre pour variable indépendante. Si Ton différentie les deux premières des équations précédentes, il viendra, en ayant égard aux deux dernières,
adx -^ bdjr -»- cdz =0, afdx -\- b'dy -\- c' dz =zO\
différentiant la première de ces deux-ci et ayant égard à Tautre, on aura
ad^x •+- bd*x -f- cd*s= o.
Les équations
adx -h bdj- -^ e€lz^=Of ad*x -^ bd^jr -hcd*z=:o
montrent (n®268) que a, i, c sont proportionnels aux cosinus des angl^ que fait avec les axes coordonnés Taxe du plan osculateur de Taréte ; donc ce plan osculateur est précisément notre plan mobile.
289. Considérons une surface développable quelconque ; soient A un point de Taréte de rebroussement
à partir duquel nous compterons Tare 5 de cette arête, et E le point qui répond ks = S. Inscrivons dans Tare S une
