CHAPITRE IX

ligne polygonale ABCDE d'un nombre n de côtés dont les directions soient respectivement AB, BG, CD, ...; désignant ensuite généralement par^ l'arc deTarête compris entre le point A et l'un des sommets du polygone, prolongeons le côté qui se termine à ce sommet d'une quantité t = f (5), (p désignant une fonction quelconque ; joignons enfin chacun des points a, i, c, ..., qui terminent les lignes t au point suivant. On formera ainsi une surface polyédrale composée de /i — i faces triangulaires et qui sera limitée par la ligne polygonale inscrite dans l'arc S, les côtés extrêmes de cette ligne, et la ligne brisée abcd. Or, en faisant tourner les faces triangulaires Dtfc, Ccb, ..., autour des côtés respectifs De, Ci, ..., on pourra placer tous ces triangles dans le plan ABC du premier d'entre eux; on obtiendra ainsi ce qu'on appelle le déifeloppement de la surface polyédrale. Dans ce développement les longueurs t et les côtés des deux lignes brisées ABCDE, abcde demeurent invariables.

Supposons maintenant que le nombre n des côtés de la ligne polygonale ABCDE augmente indéfiniment, et que chacun de ses côtés tende vers zéro, la ligne ABCDE aura pour limite l'arc S, et notre surface polyédrale tendra à se confondre de plus en plus avec la portion de la surface développable limitée par l'arc AE de Taréte, les tangentes Aa, Ee aux extrémités de cet arc, et un certain arc de courbe ae, défini par l'équation

t:=ff[

tétant l'arc AM de l'arête et t la portion M |cx de la tangente en M qui est comprise entre le point de contact et l'arc de courbe ae.

D'un autre côté le développement de la surface polyédrale tendra aussi vers une certainelimi te, et nous dirons que cette limite est le déi^eloppement de la portion de

surface développable que nous considérons. En particulier, la courbe plane qui est la limite de la ligne polygonale abcd après le développement de la surface polyédrale sera le développement ou la transformée de la ligne courbe ae tracée sur la surface développable. Il est évident que le plan ABC a pour limite le plan osculateur de l'arête au point A, lequel est tangent (n^'SSS) à la surface développable ; aussi le développement dont nous venons de parler est-il exécuté sur le plan tangent en A à la surface. Remarquons enfin que l'équation t=z 9(5), qui a lieu, par hypothèse, pour la courbe ae, subsiste après le développement.

De la surface polaire, — Lieu des centres des sphères asculatrices aux dii^ers points d'une courbe donnée,