On a vu au n<* 264 que si Ton représente par
l'équation du plan normal en un point {Xy yj z) d'une
courbe, la droite polaire ou axe du cercle de courbure a
pour équations
la caractéristique d étant relative aux coordonnées rectangulaires Xyjy z et aux quantités qui dépendent de la même variable indépendante ; nous avons démontré enfin au n" 278 que les coordonnées du centre de la sphère osculatrice, pour le point (x,^, z), sont données par les trois équations
V = o, dV=io, d^Vz=o.
n résulte de là que le plan normal d'une courbe a pour enveloppe une surface développable dont la caractéristique ou la génératrice est la droite polaire, et dont Taréte
CHAPITBB n. 4^7
de rebroussement est la courbe lieu des centres des sphères osculatrices. Cette surface développable a reçu le nom de surfctce polaire.
Il est évident que la courbe lieu des centres de coiu*bure est située sur la surface polaire.
291. Nous avons donné au n" 281 les expressions des coordonnées Xo 9 J^'o 7 ^o du centre de la sphère osculatrice ; ces expressions sont
„ TrfR -
as
(I) Wo = 7 -t-RcOSU CCS fi,
as
«0 = « -4- RCOSÇ -r— C08V,
as
et l'on a, en outre
notre notation étant ici la même qu'au n<» 274.
Si l'on différentie les équations (i) et (a) en faisant usage des formules du n^ 274, et que Ton fasse
(3) ds,^±i^^+d—y.
en attribuant à ds^ le signe de dsj il viendra
(4) ^0=^^OCOSX, ÉÇyQ = zpd!5oC08f*, <2So = ip ^0 cosv
et
(5) rdr:^zp -^^'o-
Les formules (4) montrent : i^ que dso est la différentielle de l'arc de l'arête de rebroussement de la surface polaire ; a^ que la tangente à cette arête est précisément
428 CALCUL OlPFÊRElfTIEL.
la droite polaire, ce qui est une confirmation des résultats obtenus précédemment.
Mais on voit aussi que dso peut être nulle, et alors l'arête doit se réduire à un point. Les formules (4) et (5) montrent que Xo,yo, Zof ^ sont des constantes ; la même sphère est osculatrice en chacun des points de la courbe donnée ; celle-ci est donc située sur cette sphère.
On peut conclure de là que, si une courbe est sphérique et située sur une sphère de rayon a, on a, par l'équation (a),
Mais si cette dernière équation a lieu pour une courbe, a étant une constante, il ne s'ensuit pas nécessairement que la courbe soit sphérique ; en efi'et, il résulte seulement de l'équation ( 6 ) que l'on a
r=za d*où dr = o,
et, d'après la formule (5 ), cette circonstance a lieu, nonseulement quand dso est nulle, mais aussi quand dK est
nulle. Lorsque rfR = o, on a ds^ = — et dso ne peut
être nulle que dans le seul cas où T est infini ; quand T = Qo , la courbe est plane, et, comme son rayon de courbure est constant, elle est une circonférence de cercle (n» 194).
Si l'on a c/R = 0 ou R = const. et que T ne soit pas infini, l'équation (2) donne r = R et les formules ( i ) comparées aux formules (3) du n^i6i montrent que le centre de la sphère osculatrice se confond avec le centre de courbure. On a donc ce théorème :
Si le rayon de courbure d'une courbe gauche est cort" slant, la courbe lieu des centres de courbure se confond
