CHAPITRE IX

a^fec rareté de rebroussement de la surface déueloppablsy eni^eloppe des plans normaux.

292. Désignons par «0,60, y©; So, >3o,^o; io,fo,Vo,Ro, To les quantités analogues a, &, y y . . . , et relatives à

Tarête de rebroussement. Faisons en outre abstraction du

cas des courbes planes, c'est-à-dire du cas oùT est infini.

Les formules (4) pourront s'écrire comme il suit :

(7) cosao=:qicosX, cos€o = =pcos^, coS7o = ^co*v;

la dilTérentiation de ces équations donne

dsn ^ ds ^

— co8Ço=q=^ cosÇ,

dSf. d»

— cosiîo==q= Y cosio,

ds^ d$

^ C08Ço = H= j «»Ç»

d$^ ds

(8) Rf=T ''" ^^o=«rr,

(9) OOSÇo = + COSS, COSîJo^^pCOSfl, cosÇo= H^^cosÇ.

La différentiation des équations (9) donne ensuite, en ayant égard aux formules (7) et (8),

dsQ ^ ds

— - COS Ao = T ^ <^S«, lo '^

dsik ds

— cos^o==F^ cos6,

dSn ils

Y cosvo = q= ~ cosy, d'où

43o GÂLGITL DIFFÉ&EMTIBI.*

(il) cos>Q = qz cosa, cosft0 =:p cosô, cosv^ = rfz cosy.

En comparant ainsi la courbe proposée à Taré te de

broussement de la surface polaire , on voit que pour les deux courbes la direction de la normale principale est la même, et que la tangente de chacune d'elles est parallèle à l'axe du plan osculateur de Tautre. En même temps les formules (8) et (9) expriment que la première courbure de l'une quelconque des deux courbes est égale à la seconde courbure de l'autre. Il est évident que le signe ambigu zp peut être remplacé à volonté par + ou par — dans chacune des formules (7), (9), (11). Remarquons enfin que la formule (3) devient, en vertu de ce qui précède,

(12) ±:ds^=zVid(r^-\-d - —

293. Considérons dans le plan des xy la droite mobile représentée par l'équation

(i3) Xsino-Q — YcdS(rQ=:R;

l'enveloppe de cette droite sera déterminée par l'équation précédente, jointe à celle qu'on en déduit par la différentiation relative à la variable indépendante dont dépendent (7o et R, savoir

(i4) Xcosexo -4- Tsin(ro= -T-;

on tirera des équations (i3) et (14) les valeurs suivantes des coordonnées de l'enveloppe :

X = -h R smcTo ■+■ 3- cos^oi

Y = — R cos^o H- -j- sino-Q,

GHÀPITRB IX» 43 1

etf en difFérentiant,

ûfX = 1 Rao-Q -h a -r— | Goso*»,

ce qui devient, à cause de la formule (12)9 (16) €ni = ±dsQCOStrQy dY =:±€iSfiW:itrQ.

Ces formules expriment que, pour notre enveloppe plane, Tare et la courbure sont les mêmes que pour l'arête de rebroussement de la surface polaire.

Si Ton introduit, dans les équations ( i ) , qui déterminent le centre de la sphère osculatrice, les coordonnées X, Y, avec les angles ^09 v7oy Co' ^Of f-oy Vo qui se rapportent à l'arête, il viendra

Xq z=z xiizX (cos(Tq cosoiq — sin (Tq cosÇq) !r.T (sin <t^ cosao -4- coso-o cosS^],

( ^1) \ Jo=^/^^(^^®^oCos6o-— sin<roCOSîïo)±:T(sin<r<jCos€oH-cos(r<jCosïïo). z^r^zitiTi (cos (Tq ces 7^ — sln (Xç CCS Çq) II: Y (sino-Q ces 7^ -h ces a^^ coa Ç^) ;

le signe ambigu db doit être partout remplacé par + ou par — ; on passe au surplus d'un signe à l'autre en ajoutant une demi-circonférence à l'arc <7o.

Les formules (17) donnent immédiatement la solution

du problème qui a pour objet de trouver une courbe quand on connaît le lieu des centres des sphères osculatrices. Dans ce cas, toutes les quantités affectées de l'Indice zéro et qui se rapportent à l'arête sont des fonctions connues d'une même variable indépendante; les équations (16) déterminent X et Y par leurs différentielles; après quoi les équations (17) donnent les coordonnées x, y y z de la courbe demandée.

43 9 CALCUL DIFFÉKEIÏTTEL.

TTiéorie générale des développées et des

développantes .

294. Lorsqu'une courbe AM plane ou gauche peut être décrite par Tune des extrémités d'un fil, d'abord enroulé sur une seconde courbe A'M' à laquelle il est fixé par son autre extrémité, et que l'on déroule de manière qu'il soit toujours tendu, la courbe A.'M^ est dite une développée

de la courbe AM. Réciproquement la courbe AM est une développante de la courbe A'M'.

295. Recherche des développées d'une coubbe donnée. — Nous désignerons (n® 274) par x^j, z les coordonnées de la courbe donnée relativement à trois axes rectangulaires ; par «, 6, y; g, »j, f ; X, |ùt, v les angles formés, avec les directions des axes, par la tangente, la normale principale et l'axe du plan osculateur; par s Tare de la courbe, par R et.T les rayons de courbure et de torsion. Les quantités analogues relatives à la seconde courbe se-» ront représentées par les mêmes lettres accentuées.

Cela posé, si l'on fait

les conditions pour que A'M' soit une développée de AM

CnAPITRE IX. 433

seronl

(2) x' — a:=:ttCOSa', y' — j == M cos6', a' — z = tt cosy',

avec

(3) d^ — du.

Si Ton diffërentîe la première équation (a) en faisant usage des formules du n^ 274, il viendra

or ces a — fis cosa = — -— cos? -f- du cosa ,

ou, à cause de Téquation (3),

ds cosa = — - cosÇ ;

ou aura de même

udu

ds cos€ = —7- cosiî',

udu ,

ds COS7 = — cosÇ .

Ces trois formules donnent

(4) ds=

udu

puis

( 5 ) COS Ç' = — COS a, COS n' -=: — COS 5, COS Ç' :^' — cosy,

ce qui exprime que la normale principale au point M' de la développée est parallèle à la tangente au point correspondant M de la développante. Les tangentes aux deux courbes sont donc perpendiculaires, et Ton a

(6) cosa ces*' -h cos6cos6' -h cosyco57' = o.

Différentiant cette équation par le moyen des formules

s. -^ Cale, diff, aS

du n® 27i déjà rappelées, on trouve

~ (cosÇ cosa' H- cosfl cosS' -h cosÇ cosy')

ds'

H- — (cOSaCOSÇ'-hCOSScOSlî' +COS7C08Ç') = 0,

ou, à cause des formules (3), (4)i (5),

[7) C0SÇC0S«'-f-C0SflC0S6'-f-C08ÇC087'= - •

On a aussi

/ ïï^

(8) cos> cosa' H- cos^ cosS' -+- cosv cosy' =1/ 1 ^ >

car on trouve une identité en ajoutant les équations (6), (7)» (^)» ^P'^^^ ^^s avoir élevées au carré. Si l'on ajoute ces mêmes équations, après les avoir multipliées d'abord par cosa, cos^, cosX, puis par cos6, cosr?, cos^^ puis enfin par cosy, cosÇ, cosv, il viendra

cosa = - cosÇ -+- 1/ I — -r cosa, u y ur

f \ ) ^, ^ . I js»

(9) < COSS = - COSîJ -^ i/ I jf COS/A,

C0S7 = — cosÇ -f- \/ I 5- cosv,

^ u y tt'

et les équations (2) deviendront alors

/ .r' = ar 4- R cosÇ -h \/«' — R* cos>,

(10) < y z=z y-\- Rcosi; -f- V^M* — R' coSfA,

' 2' =::= 3 -h R cos ^ 4- y'tt* —R' cosv.

Toutes les quantités relatives à la courbe ÂM sont don-nées en fonction d'une certaine variable indépendante; donc, lorsque l'on connaîtra l'expression de u en fonction

chapithe IX. 435

de cette même variable, les équations (10) détermineront complètement la développante demandée.

Pour trouver u, il sufïit de différentier Téquation ( 7 ) ; cela donne

ds'

^7 (cosÇ cosÇ' -4- cosD cosîb' h- ces ( ces ^' )

— ~ (cosacosa' -f- cosS cos6' -h cosy cosy' )

ds R

— — (cosXcosa'-f- cosucosê' -f- cosv cosy' ) = rf -> 1 u

ou, à cause des formules (5), (6), (7), (8),

(II) rf^+rfxy^i--^o,

en écrivant dx au lieu de — pour représenter l'angle de

contingence relatif à la deuxième courbure.

Telle est l'équation qui détermine u. Si la courbe proposée est gauche, ^fr n'est pas nul, et l'équation (1 1) donne

le premier membre est la différentielle de l'arc dont le cosinus est ~ : on a donc, en désignant par g une constante arbitraire,

arc C08 - = T H- fi', u

(12) - =C08(T-hfi'), 11= -. r*

^ ' U V o;» cos(t-H^)

Si la courbe proposée est plane, Téquation (ii) se réduit à

et Ton a

(i3) - =cosg^ u =

u cosg

g désignant une constante arbitraire^ cette valeur de u est donc donnée par la formule (la) du cas général, quand on y suppose t = o.

En substituant dans les équations (lo) la valeur de u qu*on vient de trouver, on obtient

1 x' =x-\-K cosÇ 4- R tang (t h- g) cos^, (i4) 1 y ==j-f-Rcosiî-f-Rtang(T-+-g^)cosft,

I z' = s -*- R CCS Ç + R tang (t H- g) cosv.

Les seconds membres de ces formules sont des fonctions données d'une même variable indépendante ; elles renferment cependant la quantité t, arc de la courbe sphérique qui mesure la deuxième courbure de la courbe proposée, et la détermination de t, en fonction de la variable indépendante adoptée, exigera dans la plupart des cas des opérations qui sont du ressort du Calcul intégral. Les équations (i4) renfermant une constante arbitraire g, on voit que la courbe proposée a une infinité de développées.

296. Désignons par Xtj y s, z^ les coordonnées du centre de courbure M| relatif au point M, et soit Â| M| la courbe lieu de ce centre ; on a (n" 264)

(i5) j:, =j:-f-RcosÇ, ^j =^ -f-Rcosu, Zi =z H-RcosÇ.

Quelque valeur que Ton donne à la constante g, les valeurs de x'j j'y z! ne pourront jamais coïncider avec celles de Xo ^i, ^i ^î '^ n'est pas nul; donc la courbe