CHAPITRE IX

lieu des centres de courbure n'est jamais une développée dans le cas d'une courbe gauche.

Les équations (i4) et (i5) donnent

COSA COS^ COSV

ce qui montre que les points M' des développées, qui répondent au point M de la courbe ÂM , sont suf la droite polaire MoM| relative au point M. Il résulte de là que toutes les développées de la courbe AM sont situées sur la surface polaire, qui est ainsi le lieu géométrique de ces développées.

Enfin les développées que représententles formules ( 1 4) sont toutes des courbes gauches, à rexceplion de celle qui répond à ^ = o, dans le cas où r est nul. En effet la diflcrcntiation des formules (5) donne (n" 274)

dv' cosa' -+- dr' ces V = d(T cosÇ, dj' CCS 6' -+- dV ces fx' = d(T cosiî, rfo' ces y' -^ dT cosv' =: d<T cosÇ,

d'où

si donc dr' est nul, on aura rfff'= da et

cosa' 1= cosÇ, cos6' = cosij, any' = cosÇ,

ce qui exige, d'aprèslesformules(7) ou(8), que l'on ait

tt — R,

mais cette valeur n'a lieu que si la courbe AM est plane, et elle répond à la valeur g = o. Dans le cas de t = o, g =z o, le point M' coïncide avec le centre de courbure M| ; donc :

1® 'Les développées d*une courbe gauche sont toutes des courbes gauches.

438 CÂLCDL DIFFÉRERTIBL*

2«> Une coûtée plane n'a qu'une seule développée plane qui est le lieu de ses centres de courbure.

297. Déyeloppement de l4 suaFAcs POLAIRE. — Nous rapporterons à Taréte de rebroussement de la surface polaire le système des développées de la courbe donnée et le lieu de ses centres de courbure. Retranchant donc des coordonnées a/, ^', y, et Xf , j^o z^ données par les équations (i4) et (i5) les coordonnées Xo, y^^y ^o du centre de la sphère osculatrice (n^290), on aura

J?' — J^o= Rtang(TH-g')-f- — j cos>,

/— ro= Rtang(T 4- g') -f. — cosfi,

*' — 2o = R tang(T + ê') -^- ^ cosv,

x^ — •'^o ^^ "7" cos^,

dK dr

d^ dK

Zi — Zq= —-- COSv; az

mais, ne voulant introduire que les quantités relatives à Faréte^ nous remplacerons cosX, cos/ia, cosv par cosao» cosSo) cosyo) auxquels il est permis de supposer respectivement les mêmes signes, puis dx par d<TQ et même r par <Jq. Je poserai en outre

R = — X sino-Q -f- Y cos^o»

dR .

-;— r= — X cosffo — Ysmo-o»

et les nouvelles variables X et Y seront déterminées, en