CHAPITRE IX

fonction des seules quantités de Taréte, par les formules

(17) €/X = ^0 cosffo, • dY = dsQ sino-Q,

comme on Ta vu au n" 293. Alors les formules précédentes deviendront

?' — ■go y — ro g' — gp — Xcos^-4-Ysinff cosaQ CCS 60 cosyo ces (o-q -f; g')

*" cosao cosbo COS70

Cela posé, supposons que Ton ait choisi pour le plan des xy un plan tangent à la surface polaire et exécutons le développement de la surface dans ce plan ; conservons les mêmes lettres pour représenter les diverses quantités de ces formules, après le développement. Comme les points Mo, M< , M' sont toujours en ligne droite et que leurs distances mutuelles sont invariables, ainsi que les arcs5o et do, les formules (18) et (19) subsisteront sans modification. Mais, après le développement, r©, -z^i, ^ sont nuls ; Taréte est devenue une courbe plane et da^ peut être pris au lieu de ^ao ; on peut même supposer ao = o^o, à cause de la constante arbitraire g qui accompagne cto \ d'après cela, on aura

co8«0 = cos(Xo, cos6o = 8iiï<''o> COS7o = 0.

En outre, les formules (17) montrent que rfX et rfY ne sont autre chose que dx^ et dy^ ; on peut donc faire

à cause de Tindétermination de l'origine des axes.

D'après cela, les transformées des développées auront pour équations

.r' — a-o /— ro (3roCOSg-4-roSin/^)

( ao 1 = — . = — ; v >

^ cosco smo-o cos(rro-h^)

4^0 CALCUL DIFFÉaEMTIEL*

et la transformée du lieu des centres de courbure sera elle-même représentée par les équations

(7.1) -^ -^ =^—, = — (.rocos^o-f-josinc-o).

On peut éliminer des équations (qo) x©,./© et Gq] celte élimination donne

(22) jr'cos^ — j'singr = o,

et de là résulte ce théorème :

Théorème I. — Les développées d'une courbe quel-' conque se transforment en des lignes droites passant par un point fixe F, après le développement de la siuj'ace polaire.

Et, comme les longueurs des arcs ne changent pas, dans le développement, on peut ajouter que les développées sont, sur la surface polaire, les lignes les plus courtes entre deux de leurs points ; elles sont, comme on dit, des lignes géodésiques,

La formule (21) comprend les deux équations

Xi —Xo = {^1 — •'^o) tangŒo,

La première représente la tangente au point {xQ,yo) du développement de Taréte; la seconde équation est celle de la perpendiculaire abaissée de Torlgine F sur cette tangente. On a donc cette autre proposition :

Théorème II. — Le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche devient, après le développement de la surjace polaire, le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées sur les tangentes de l'arête transformée, par le point d'intersection de toutes les développées»