CHAPITRE IX

298. Il faut remarquer le cas particulier où la courbe donnée est sphérique et celui où elle est plane. Dans le premier cas, la surface polaire est un cône ayant pour sommet le centre de la sphère qui contient la courbe; toutes nos formules subsistent. Lorsque la courbe donnée est plane, la surface polaire est un cylindre qui a pour section droite la développée plane de la courbe donnée. On peut supposer ici cosX=o, cosfji==o, cosv=:^i, et z< == o ; alors on a par les formules (i4) (n** 296)

l'origine de l'arc j< étant indéterminée, on peut prendre

R = .çj. Après le développement de la surface polaire,

Sf devient une abscisse rectiligne, et les transformées des

développées sont des lignes droites représentées par Té-

quatioji

3' = 5itang^;

ces développées, dont la tangente fait un angle constant avec la direction des génératrices de la surface polaire, ont reçu le nom d'hélices.

299. Recherche des développantes d'uhe courbe DONNÉE. — Les équations du problème sont, comme au n° 295,

j/ — X=£/COSa', y — ^ = aC0S6', z' — 3=ttCOS7,

fis' = du ;

mais la solution est beaucoup plus facile que celle du problème inverse, car ici j/, j^, z', a', S', /, s! sont exprimées en fonction d'une même variable, et l'on en conclut immédiatement les valeurs de x, j<, z en fonction de cette variable. On a en effet

44^ CALCUL DlFFÉRENTiEL.

g étant une constante arbitraire, et les équations précédentes donnent ensuite

xz=.x' — (j' H- g') cosa', y— y — [s' -4-^)cos6', » = z' — (''"♦" S\ COS7'.

On voit qu'une courbe quelconque, plane ou gauche, a une infinité de développantes. La seule difficulté de ce problème réside dans la détermination de l'arc y, dont la difiiérentielle est en général seule donnée. La recherche de J est du ressort du Calcul intégral.

Application des théories précédentes à l'hélice.

300. Les coordonnées rectangulaires de l'hélice ordinaire peuvent être représentées par les équations

(i) jr = acos^, jr = asïiïfy zz=zafCOii\

i étant un angle donné et a le rayon du cylindre auquel appartient l'hélice. Nous conserverons toutes nos nota • tions ; celles-ci étant toujours les mêmes, il serait superflu de les rappeler ici.

La difi'érentiation des équations (i) donne

dx=2 — a smodtf^ dy ^=.a cos^ c/^, dz = ad^ cot/,

d'où

^ ' sm/

et, par suite,

( 3 ) cosa =: — sîni sinç», cos6 =: sin/ cosy , cosy = cos/;

la dernière de ces équations montre que la tangente à l* hélice fait avec V axe du cylindre un angle constant égal à i.