Théorème IIÎ'. — Siladérii^éef\x) de la fonction

f{x) reste finie pour toutes les valeurs de x comprises

entre les limites Xoet\^Xo, et que l'on fasse croître x

de Xq à X, lafonctionf[x) croîtra tant que la dérix^ée

f'{x) ne sera pas négative, et elle décroîtra tant que

f{x) ne sera pas positive.

En effet, x étant comprise entre Xo et X, le rapport

a pour limite y (x), qai est une quantité finie ; il aura donc le signe de cette limite pour toutes les valeurs de h comprises entre zéro et une quantité positive i suffisam-

ment petite. Par conséquent, on aura, pour les mêmes valeurs de A,

siy'(x) est ^o, et

sif'[x) est<^o.

Ainsi la fonction ^(j:) ira en croissant à partir de chaque valeur de x pour laquelle y(j:) est >o, tandis qu'elle ira en décroissant à partir de chaque valeur telle que y (a?) soit <Co.

Mais il peut arriver que la dérivéey'(a:) s'annule pour une ou plusieurs valeurs de x comprises entre Xq et X. On peut supposer qu'il n'y ait qu'une valeur de cette espèce, car on ramène à ce cas celui où il y en aurait plusieurs, en décomposant l'intervalle de x© à X en plusieurs autres. Alors, si l'on désigne par a la valeur de X qui annuley'(x) et par h une quantité aussi petite que l'on voudra, on fera croître j: de x^ka — h, puis de a -h A à X, et le signe de la dérivée y (x) indiquera le sens de la variation de la fonction dans chaque intervalle, quelque petite que soit la quantité h. Faisant tendre ensuite h vers zéro, on voit que, si la dérivée f\x) ne change pas désigne en s'annulant, la fonction y (x) continuera à varier dans le même sens, tandis que, sif'[x) change de signe en s'annulant, la fonction f{x) deviendra croissante ou décroissante selon qu'elle était décroissante ou croissante. Dans ce cas on dit qu'elle passe par un minimum ou par un maximum.

17. Le théorème du n° 1 4 est susceptible d'être généralisé; il est effectivement compris dans la proposition