CHAPITRE II. a

suivante y dont on \erra plus loin d'importantes applications :

Théorème IV. — Soient f[x) et F(x) deux fonctions de X qui restent continues pour les valeurs de x comprises entre des limites données, et qui, pour ces valeurs, aient des dérivées déterminées /' {x), F'(x). Si Xq et X désignent deux valeurs de x comprises entre les mêmes limites, et que la dérivée F'(x), qui peut être nulle ou infinie pour X = Xq ou pour j:::=X, ne le soit pas pour les valeurs intermédiaires, on aura

/(X)-/(xo)/-(x,) F(X)-F(xo)- F'(.rO'

Xi étant une valeur comprise entre Xq et X,

Nous emploierons ici le raisonnement qui nous a déjà servi à établir le théorème I. Posons

FlX)-F(x,)-*' • on aura

(i) [/(X)-AF(X)]-[/(x,)-AF(x,)] = o,

d'où il résulte que la fonction

(2) ?(') = [/(•'') -AF(.r)]^f/[:r.)-AF(.r.)],

qui est nulle pour x = j:o> s'annule aussi pour x = X. Si cette fonction n'estpas constamment nulle, quand x varie de Xq à X, elle croîtra ou décroîtra soit à partir de :r = Xo , soit à partir d'une valeur comprise entre Xq et X; mais, si elle commence par croître, elle devra décroître ensuite, et inversement, puisqu'elle redevient nulle pour x = X, et qu'elle est continue. Il y aura donc une valeur x^ de x comprise entre Xq et X, telle, que les différences

seront nulles ou de même signe pour les valeurs de h comprises entre zéro et une certaine limite aussi petite que Ton voudra. Les quotients

seront donc de signes contraires, ce qui exige que leur limite soit zéro, car la fonction cj (x) a, par hypothèse, une dérivée déterminée. Ainsi Ton a

n ou, à cause de la formule (2),

il n

ou

/'(xO-AF'(.r,;-^o.

La valeur X| ne peut être égale ni à Xq ni à X; d'ailleurs, par hypothèse, la dérivée F' (a) ne peut être nulle ou infinie pour les valeurs de x intermédiaires entre Xo et X; on a donc

et, par conséquent,

/(X)~/(.ro) ^ f'[x,) F(X)-F(:ro) Y\x,j'

Si Ton pose h étant une quantité positive ou négative, on aura

0 étant une quantité comprise entre zéro et i; alors la