IU/COS

On voit que le plan osculateur fait un angle constant avec le plan de la section droite du cylindre, et que le rayon de la seconde courbure est constant.

Le centre de la sphère osculatrice coïncide ici avec le centre de courbure; ses coordonnées sont

ijr, z= .r -}- R cosÇ = — a cet* / cosy, , , ^'i =.r H- R cosfl = — a cet*/ siiiy,

\ «1 = 2 H- R cosÇ = atfCoU,

Il résulte de ces formules que l'arête de rebroussement de la surface polaire est une hélice située sur un cylindre qui a le même axe que le cylindre de l'hélice donnée, et dont le rayon est a cot^ 1 .

L'équation du plan normal est

— sin/sin9>(jr — acos^) -i- sin/cosç>(^ — «siny)

-f- 005/(3 — ay cot/) = o, ou

(il) — .r sin 9) -+- r cosy -4- z cot/ =:= « y cot* /.

La dérivée de celte équation par rapport à cp est

(12) — xcosy — jsiny = ^cot*/;

on aura donc l'équation de la surface polaire en éliminant <p entre les équations (i 1) et (i 2). Cette surface est dite un hélicoïde développai? le; sa trace sur la base du cylindre a les deux équations

— .r cosf -f- j" sin y = a y cot* /,

— X cosy —jr smç> = a cot'f,