CHAPITRE IX. 44S
et, par conséquent (n° 244), cette trace est une développante d*un cercle de rayon égal à acot^i. Enfin, comme Téquation (7) donne
rz=f cosi -+- coDSt.,
les développées de Thélice seront représentées par les équations
xi= — acot*/cosy r-p- smy tangl^cos/ H-g'),
, ,^ I . . a cos / / . \
(i4) / 7 = — acot'/smyH r-j-r cosytang(9>cosi -4-^),
1 0IU i
z ==«®coti r— . tang(i>cos/ -h g),
ou g désigne une constante arbitraire ; et, à cause de
$■=. -T^ — h const., sin/
on aura, pour les développantes,
a: ^=ia cos y 4- I -: — : ~^ g\ sin / smy,
\sin/ /
z=. — g cosi.
Ces développantes de Thélice sont des développantes do cercle, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu au n'* 298.
301 . L'hélice a, comme on vient de le voir, ses deux courbures constantes; il est facile d'établir qu'elle est la seule courbe qui possède celte propriété.
Pour le démontrer, considérons une courbe dans laquelle les rayons R et T des deux courbures sont
44^ CALCUL DIFFÉREITTIEL.
supposés, constants. D'après les formules (2) et (3) du
n» 274, on a
R^cosa — Tdcos\ = o,
R d ces 6 — Td ces a := o,
R^cosy — T^cosv = O;
par conséquent, les, différences
Rcosa — Tco8>, ReosS — Tcosf*, Rcosy — Tcosv
sont constantes, et, comme la somme de leurs carrés est égale à ^K'-f- T*, on aura
R cosa — T cos> = ^* -+- T cosiî, RcosS — T cosjùi = ^R« -h T* cos^.
R cosy — T cosv = v^R* H- T* cosc,
a, b, c désignant les angles qu'une droite fixe arbitraire fait avec les axes. On peut faire coïncider l'axe des z avec cette droite, il vient alors
R cosa — T cos> = o, (i) / RcosS — Tcosf* =r o,
R cosy — T cosv = ^R* -+- T*.
Retranchons les deux premières de ces formules l'une de l'autre, après les avoir multipliées par cosy; et cosÇ respectivement; retranchons également la première et la troisième multipliées par cos^ et cos^; puis la seconde et la troisième multipliées par cos2[ et cosrj; on aura, par les formules du n** 265,
T cosa + R cos> -— -h ^R* -+- T* cosu,
W • { T cosS 4- R cosf* =: — VR« -h T cosÇ,
T cosy 4- R cosv — : o.
