CHAPITRE IX
Ces équations, combinées avec les précédentes, donnent
ces a =: COS179
■ T (3) < cos6=: fins g,
cosy =
On doit remarquer que l'analyse précédente suppose seulement que le rapport — des deux courbures soit constant ; la dernière des équations ( 3 ) montre que la tangente de la courbe fait avec l'axe des z un angle constant. On a donc ce théorème :
Si les deiix courbures d'une courbe ont entre elles un rapport constant, cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre dont la base est une courbe quelconque.
Des équations (3) on tire
cosacosïH- cos6cos)3 = o,
d'où il résulte que cosycos^ est nul; donc cos^=:o. Alors on peut écrire
COS13 =:sinS, et
( cosa =r4- sinysinÇ,
en difTérentiant la première des équations (4), on a
ds
— - cosÇ^sinycosÇ^, d ou r^c r^Rsiny^fJ,
mais les mêmes équations (4) donnent
dx , dy
—- = sinv sinÇ, -7- = — sinv cos£
ds ds ' '
et Ton a aussi
^^=cos7;
donc
d.r rrz R sîn* y sin ÇrfÇ, djr = — R sin*7 cosÇ</ï, di = R siny cosy^Ç.
Nous avons supposé constant le rapport de T à R; on voit que, si le rayon R est lui-même constant, les coordonnées ne diffèrent des quantités
— Rsin'ycosÇ, — R sin* 7 sin S, R^sinyocsy
que par des constantes, et, l'origine de ces coordonnées étant arbitraire, on pourra poser
(5) x= — Rsin*7Cosf, j= — Rsin'ysinÇ, z^rRÇsinycosy;
les équations (5) appartiennent bien à une hélice ordinaire dont le rayon de courbure est R. .
De l'ordre du contact de deux courbes quelconques.
Des courbes osculatrices,
302. Considérons deux courbes quelconques MM', MM', ayant au point M la tangente commune MT. Prenons sur la courbe MM' un point M' infiniment voisin
de M et menons, par ce point, le plan M'PRf, perpendiculaire à la tangente MT ; soient M', et P les points où ce
