CHAPITRE IX

plan rencontre la courbe MlVf, et la droite MT. Nous (lirons que les deux courbes MM', MM'^ ont au point M un contact de Tordre n^ si la distance M'M'^ est un infiniment petit de Tordre n H- i , MP étant Tinfîniment petit principal. Il est évident que, dans Testimation de Tordre du contact, on peut, à Tinfîniment petit principal et à Tinfîniment petit caractéristique du contact, substituer deux autres infiniment petits dont les rapports aux premiers tendent vers des limites finies. Par exemple, si Ton mène par le point M' un plan M'QN parallèle à un plan fixe non parallèle à la tangente MT, que N et Q soient les points où ce plan rencontre la courbe MM', et la tangente MT, on pourra prendre MQ pour infiniment petit principal et M'N pour infiniment petit caractéristique. En eflet, menons la corde NM', , les angles N et M', du triangle NM'M', tendront vers des limites finies; ces limites sont les angles formés par la tangente MT avec des droites situées respectivement dans deux plans fixes non parallèles à MT ; il résulte de là que le rapport des côtés M'M', et M'N du triangle M'M', N tend vers une limite finie. D'un autre côté, M'P et QP sont infiniment petits par rapport à MP; car

M'P = MPtongM'MP,

et Tangle M'MP est infiniment petit ; en outre le rapport de QP à M'P est la cotangente de Tangle M'QP qui a une limite finie ; il en résulte que le rapport de MQ à MP a pour limite Tunité.

Cela posé, projetons la figure sur un plan perpendiculaire au plan M'N Q et soient mW, mn, mq les projec^ lions des courbes MM', MN et de la tangente MQ. La droite MT n'étant pas perpendiculaire au plan de projec-

tion, la limite du rapport — ^ a une valeur finie; le rap-

s. — Cale. dîff. 39

45o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

port des intiniraent petits M'N, m! n^ aussi une limite finie, à moins cependant que M'N ne fasse un angle infi-

niment petit avec l'axe du plan de projection ; dans ce

cas, le rapport -— j^ est infiniment petit.

Il résulte de là que, si les deux courbes proposées ont au point M un contact de Tordre n, les projections de ces courbes sur un plan non perpendiculaire à la tangente commune ont un contact dont l'ordre est au moins égal à 71. Cet ordre n'est supérieur à n que si M'N fait un angle infiniment petit avec l'axe du plan de projection, et, comme cette circonstance ne peut pas se présenter pour deux plans de projection non parallèles, on a ce théorème :

Pour que deux courbes aient en un point donné un contact de l'ordre n, il faut et il suffit que leurs projections sur deux plans non parallèles aient un contact de l'ordre n au moins.

Nous n'avons considéré que des projections orthogonales, mais il est facile de voir que le précédent énoncé subsiste quand on fait usage de projections obliques. Au moyen du théorème que nous venons d'établir, on exprimera les conditions du contact des courbes gauches, par la méthode du n^ 21 i qui se rapporte aux courbes planes.

303. On nomme courbe osculatrice en un point d'une courbe donnée celle des courbes d'une espèce donnée