CHAPITRE IX

qui a, avec la ccAirbe donnée, le contact de Tordre le plus élevé. Si la courbe d'espèce donnée dépend de 27t ou de a 71 + I paramètres arbitraires, on pourra établir un contact d'ordre n — i entre les projections des deux courbes sur deux plans non parallèles ; ces courbes auront donc elles-mêmes un contact d'ordre n — i . Si le nombre des paramètres est 2/1 -f- i, l'un d'eux demeurera indéterminé ; on pourra en disposer de manière à satisfaire à une condition nouvelle, mais il ne suflira pa^ en général pour élever d'une unité l'ordre du contact.

Du cercle osculateur en un point d'une courbe gauche. Son identité avec le cercle de courbure,

304. Il n'y a que six arbitraires dans les équations du cercle, savoir les coordonnées du centre, le rayon et deux des angles que fait l'axe du cercle avec les axes coordonnés. On a ici 2/2 = 6, n — 1=2; donc le contact d'une courbe avec son cercle osculateur est du deuxième ordre. Or on a vu (n® 282) que les projections d'une courbe et de son cercle de courbure sur un plan ont un contact du deuxième ordre; les deux courbes ont donc elles-mêmes ce contact (n° 302), et il s'ensuit que le cercle osculateur n'est autre chose que le cercle de courbure.

Du contact des sur/aces courbes,

305. Considérons deux surfaces passant par un point M et ayant en ce point le même plan tangent. Menons un plan par la normale commune GH ; ce plan coupera les surfaces suivant deux courbes MM', MM', qui auront, en M, la même tangente MT ; l'ordre n du contact de ces courbes pourra varier avec le plan normal GHT. Si, pour tous les plam normaux menés par GH, l'ordre du contact

45a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

des sections faites dans la surface n'esV jamais inférieur à n et que cet ordre ne soit pas non plus supérieur à n, pour toutes les sections, on dit que les deux surfaces ont au point M un contact de Tordre /z.

Supposons les axes coordonnés choisis de manière que celui des z soit parallèle à la normale GH et que les deux autres soient parallèles au plan tangent ; si Ton désigne par Xy y les deux coordonnées du point M parallèles aux axes des x et des j ; par Z et Z' les ordonnées des surfaces qui répondent aux abscisses

a: -4- A.r r=r j? H- p cosg.», y -^ tijr z=:jr -^ p sinw,

il faut et il suffit, pour le contact d'ordre w, que la différence

soit un infiniment petit de Tordre /z+ 1, au moins relativement à p, quel que soit Tangle w. Or, z et z' étant les valeurs de Z et de Z' qui répondent à /o = o, on a

dz r/' z

-hR

, ^3' dU'

^"R'/.-Hl;

donc les conditions du contact sont

z' •= Zy €lz=:dz^ d^z=^d*z, ..., d'^z' ^=d^Zy

les valeurs de dx et djr étant p coso) et p sino).

chapithe IX. 453

Mais, comme ces conditions doîvenl avoir lieu quel que soit w, on voit qu'il est nécessaire et suffisant pour le contact d'ordre n que les ordonnées z des deux surfaces soient égales au point M, ainsi que toutes leurs dérivées partielles correspondantes, jusqu'à celles de l'ordre n inclusivement. Le nombre total de ces conditions est

Cette conclusion subsiste quels que soient les axes auxquels les surfaces sont rapportées. En effet, si l'on exécute une transformation de coordonnées, chaque dérivée partielle d'ordre (x de la nouvelle ordonnée z de l'une des surfaces relativement aux nouvelles abscisses s'exprimera, comme on sait, par une fonction qui contiendra les dérivées partieUes de l'ancien z relativement aux anciennes abscisses, jusqu'à celles de l'ordre fx inclusivement. Donc les égalités qui ont lieu à l'égard du système d'axes que nous avons cUoisi ont lieu également, dans le cas d'un contact d'ordre tz, relativement à un autre système d'axes ; notre raisonnement prouve aussi que la réciproque a lieu. Il faut seulement remarquer que , si l'axe des z du nouveau système était parallèle au plan tangent, les dérivées partielles du premier ordre seraient infinies, et les formules illusoires.

306. Si l'on considère une surface donnée et une famille de surfaces dans l'équation desquelles figurent k arbitraires, on pourra nommer surface osculatrice de la surface donnée en un point donné celle qui a avec celleci le contact de l'ordre le plus élevé. Mais cette considération ne conduit à aucun résultat important ; la surface osculatrice, telle que nous venons de la définir,

aurait avec la proposée un contact dont Tordre n serait le plus grand entier satisfaisant à la condition

= ou < A-,

et le plus souvent il resterait des arbitraires indéterminées dans Téquation de la surface osculatrice.

Dans le cas du plan, on a Ar = 3 et // = i ; le plan osculateur a un contact du premier ordre, il n'est autre que le plan tangent. Dans le cas de la sphère, on a /r = 4» puis 71 = I ; mais il reste une arbitraire non employée. Il est évident qu'il n'y a point lieu d'admettre pour une surface de sphère osculatrice.

CBAPITKE X.