CHAPITRE X
DES UGNES TRACÉES SDR LES SURFACES G0GB6ES. ÉTUDE DE DIVERSES CLASSES DE SURFACES.
Expression du rayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface donnée, — Tliéorème de Meunier,
307. Nous désignerons par x, y y -z les coordonnées rectangulaires de la surface donnée, et nous poserons
(1) dz:= pdx -^ qdjr^
( dp T= rdx -h sdjy j dq = sdx H- tdf.
Si Ton prend x el y pour variables indépendantes, on aura, par ces formules,
d*z=. rdx* -\- 'i.sdxdy -I- tdy*.
Cela posé, considérons une courbe AM tracée sur la surface. Soient M(x, ^, z) un point de cette courbe, MT la tangente en M, et MN la normale principale dont la direction est celle du rayon de courbure ; soit enfin IK
la normale en M à la surface. Désignons par a, 6, y les angles que fait la direction MT de la tangente avec les
parties positives des axes coordonnés; par ^9 ti, ^ les angles formés avec les mêmes axes, par la direction MN de la normale principale ; par R le rayon de courbure de la courbe au point M et par a la courbure de l'arc AM compté à partir d'une origine quelconque Â. Alors d^ sera l'angle de contingence et Kda exprimera la différentielle de l'arc AM. On aura donc, comme on l'a vu dan5 le Chapitre précédent (n°* 260 et 263),
(3) doc = K(i<TCOsa^ djr =1^ de cos^j dzz=z^d<TCos?[, et
(4) fi^cosa = ^acosÇ, cfcosS = rfo-coSîî, d cosy ^= drr cost.
Maintenant, d'après la formule (i), les angles que forme, avec les parties positives des axes, l'une des deux directions de la normale IK de la surface ont pour cosinus
le radical ^i -+-/:;* H- y* étant pris avec un signe quelconque. Ce signe ayant été fixé à volonté, la direction de la normale à laquelle il correspond sera déterminée ; soit MK cette direction. Désignons enfin par 0 l'angle compris entre o et tt que forment entre elles les directions MN et MK, on aura
cosÇ — pcosÇ — flrcosij cosO = — ^ ^ — ^ ,
ou, à cause des formules (4) y
, tf^ , ^ dco^y — pdcoSK — gdcos^
(5) d(rcosO = — /^ — ^ •
En substituant dans les formules (1) et (2) les valeurs de dXf djy dz tirées des formules (3), on obtient
(6) COS7 rr/'COSa + 9COS0,
