CHAPITRE X
et
j rf/; = R^(r(/cos« -p- 5COs6),
( r/^ z-.i Kd(T [s COSa -h / cosê ) ;
la difTérentiation de la formule (6) donne ensuite
r/cosy =: [pd coscc 4- qdcos€) -f- (^COSa 4- ^7 cosê),
et, à cause des formules (7),
/Q\ I ^^^^7 — pdcosoL — qdcos€
\ =r:R</(r(rcos'a -H 25COSa cosê 4- 'cos*6).
La formule (5) se change alors dans la suivante :
cos6 rcos*a -t- 25COSacos6 -h <cos*6
et celle-ci exprime le rayon de courbure de la courbe AM en fonction des quantités relatives à la surface et des angles qui déterminent sa tangente .et sa normale principale. Le rayon R étant une quantité positive, le signe de COS0 sera toujours celui du second membre de la formule (9).
308. Théoueme de Meunier. — Considérons maintenant la section normale obtenue en coupant la surface par le plan des lignes MT, MK. Soit Ro le rayon de courbure au point M de cette section ; Tangle 0 sera ici o ou ?:; par conséquent, la formule (9) donnera
Rq __ y/l 4-^*4-7*
±1 rcos'a 4- 2xcosacos6 4- ^cos*6
et Ton aura, en conséquence,
(10) R— 4rRçCosô,
le signe ambigu it devant être remplacé par 4- ou par — ,
selon que 6 est inférieur ou supérieur à -
La formule (lo) exprime l'important théorème de Meunier qui consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Le rayon de courbure en un point d'une courbe quelconque tracée sur une surface est égal au produit du rayon de courbure de la section normale qui contient la tangente à la courbe, multiplié par le cosinus de V angle que le plan de cette section fait auec le plan osculateur de la courbe.
Et ce théorème conduit immédiatement à cette conséquence remarquable :
Corollaire. — Si Von construit une sphère qui ait même centre et même rayon que le cercle de courbure d'une section normale faite dans une surface, tous les plans menés par la tangente à cette courbe couperont la splière suivant des petits cercles qui seront les cercles de courbure des sections obliques faites dans la surface par les mêmes plans.
D'après le théorème de Meunier, la comparaison des courbures des diverses courbes que Ton peut tracer sur une surface par un point donné se ramène à la comparaison âes courbures des sections normales.
Comparaison des rayons de courbure des sections normales en un point d'une surface, — Des sections principales,
309. Nous avons vu que le rayon de courbure R d'une section normale en un point M d'une surface est donné par la formule
/jN R^ \/i-f- /?«-+- 7' ^
^ ' dti rcos*a -h 2Jcosacos6 -4- rcos*6
où le signe du radical a été choisi à volonté ; le signe ambigu du dénominateur du premier membre doit être
