CHAPITRE II. 2D

formule précédente deviendra

F ("xo -{- // ) - F (Xo J F't^ro -h 6/;". '

Z7e5 différentielles.

18. Nous emploierons la caractéristique A pour désigner les accroissements des fonctions. Ainsi l'accroissement que prend la fonction f{x), quand on donne à x l'accroissement h ou ùkx^ sera représenté par

et Ton aura, en conséquence^

S étant infiniment petit en même temps que h.

La première partie hf\x) de cet accroissement est dite la différentielle de la fonction^ (x); on désigne cette différentielle au moyen de la caractéristique rf, et Ton écrit

On voit que, si l'accroissement arbitraire h est infiniment petit, les quantités ^/[x)ei df(x) sont des infiniment petits susceptibles d'être substitués Tun à l'autre, conformément à la méthode que nous avons exposée, dans les rapports ou dans les sommes dont on peut avoir à chercher les limites. On a effectivement

et, par suite,

df[x] tant quey'(a:) reste finie.

19. On peut donner une représentation géométrique très-simple de l'accroissement •Ay(x) et de la différentielle df{x). Considérons à cet effet deux axes rectilignes de coordonnées, et construisons la courbe dont l'ordonnée

Vfy^ ^

esty(j:). Menons la tangente au point M dont les coordonnées sont X et /{x) ; construisons l'ordonnée M'P', qui répond à l'abscisse x-hh et qui coupe en R la tangente en M; menons enfin MQ parallèle à Taxe des

abscisses. La dérivée y*(j:), limite du rapport — -^9 est,

comme nous l'avons déjà dit (n^6), le coefficient d'inclinaison de la tangente MR, et l'on a

à/{:r) — M' Q = RQ -h M' R,

et, par conséquent,

il suit delà que M'R est d'un ordre infinitésimal supérieur au premier.